Modéliser les mouvements

Un mouvement se décrit toujours par rapport à un référentiel. Dans un atelier, on choisit souvent un référentiel lié au bâti, supposé fixe pour l’étude. Un repère donne une origine, des axes orientés et une base permettant d’exprimer les coordonnées. Dire seulement qu’un point se déplace de deux mètres est incomplet : il faut savoir par rapport à quoi et dans quelle direction.

On peut modéliser une pièce comme un solide indéformable si les déformations sont négligeables pour le phénomène étudié. Les distances entre ses points sont alors constantes. Une liaison décrit les mouvements relatifs autorisés entre deux solides. Un pivot idéal autorise une rotation autour d’un axe ; une glissière idéale autorise une translation selon une direction ; un encastrement n’autorise aucun mouvement relatif.

Le modèle de liaison simplifie le contact réel. Il ne reproduit pas automatiquement le jeu, le frottement ou la déformation. Choisir un pivot revient à supposer que les autres mouvements sont bloqués dans la précision de l’étude. Le graphe de liaisons indique quels solides sont reliés ; le schéma cinématique précise en plus les axes, les directions et l’organisation géométrique utile au calcul.

En translation, tous les points d’un solide ont le même vecteur vitesse à un instant donné. La translation peut être rectiligne ou curviligne ; elle ne signifie pas toujours trajectoire droite. Pour une translation rectiligne selon un axe fixe x, la position se décrit par x(t), la vitesse algébrique par v(t) = dx/dt et l’accélération par a(t) = dv/dt. Un signe négatif indique le sens opposé à l’orientation de l’axe.

Sur une courbe position-temps, la pente locale renseigne la vitesse. Sur une courbe vitesse-temps, la pente renseigne l’accélération et l’aire algébrique sous la courbe donne le déplacement. Une position constante implique une vitesse nulle ; une vitesse constante implique une accélération nulle, mais pas forcément une position constante. Les unités permettent de vérifier ces relations.

À partir de mesures discrètes, on peut estimer une vitesse moyenne par Δx/Δt. Cette estimation n’est pas exactement la dérivée instantanée. Un pas de temps trop grand masque des variations ; un pas trop petit peut amplifier le bruit de mesure dans les différences. Pour comparer expérience et modèle, il faut tenir compte de la fréquence d’acquisition et du traitement des données.

Pour une rotation autour d’un axe fixe, on décrit l’orientation par un angle θ(t), la vitesse angulaire par ω = dθ/dt et l’accélération angulaire par α = dω/dt. L’angle s’exprime en radians dans les relations usuelles. Un tour correspond à 2π radians. Une vitesse N en tours par minute devient ω = 2πN/60 en radians par seconde.

Les points d’un solide en rotation ont la même vitesse angulaire, mais pas tous la même vitesse linéaire. Un point sur l’axe fixe a une vitesse nulle. Pour deux points A et B d’un solide, la relation de champ des vitesses s’écrit v(B) = v(A) + Ω × AB. Le symbole × représente ici le produit vectoriel. La direction et le signe se déterminent avec l’orientation de la base, pas seulement avec une multiplication de normes.

Le torseur cinématique rassemble le vecteur vitesse angulaire Ω du solide et la vitesse d’un point choisi. Changer le point de réduction ne change pas Ω mais modifie la vitesse associée selon la relation précédente. En translation, Ω est nul et toutes les vitesses sont égales. Pour une rotation autour d’un axe fixe, la vitesse des points de cet axe est nulle.

Même lorsque la norme de la vitesse est constante sur un cercle, le vecteur vitesse change de direction. L’accélération n’est donc pas nulle. Pour un rayon r fixe, la composante normale a pour norme rω² et pointe vers le centre ; la composante tangentielle a pour norme rα. Une rotation uniforme a α = 0, mais conserve sa composante normale.

Une loi d’entrée-sortie relie les paramètres décrivant les mouvements. Pour un pignon de rayon primitif r engrenant avec une crémaillère sans glissement au contact, le déplacement peut s’écrire x = rθ avec une orientation choisie pour rendre le signe positif. En dérivant, v = rω ; en dérivant encore, a = rα. Cette relation utilise le rayon primitif et non une dimension quelconque lue sur le dessin.

Dans une chaîne cinématique ouverte, les vitesses se composent. Pour un même point géométrique, la vitesse par rapport au bâti se déduit de la vitesse relative et de la vitesse d’entraînement, avec des vecteurs exprimés dans une base commune. Additionner seulement les normes est permis uniquement si les directions et les sens le justifient.

Dans une chaîne fermée, les positions doivent satisfaire une fermeture géométrique. Par exemple, pour un contour O–A–B–O, la somme vectorielle OA + AB + BO est nulle. On projette cette relation sur les axes pour relier les paramètres, puis on dérive si l’on cherche les vitesses. Les solutions mathématiques doivent correspondre à l’assemblage réel et aux limites de course du mécanisme.

Une vérification simple consiste à rendre l’entrée nulle : une relation sans mouvement imposé ne doit pas produire spontanément une vitesse non nulle, sauf si une autre entrée existe. On peut aussi comparer deux rayons sur un disque : à vitesse angulaire identique, la vitesse tangentielle doit être proportionnelle au rayon. Ces contrôles ne remplacent pas le calcul, mais repèrent des inversions et des conversions oubliées.

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