Modéliser les actions mécaniques

Isoler un système signifie fixer la frontière de ce que l’on étudie. Pour une charge suspendue, le système peut être la charge seule. Le câble et la Terre sont alors extérieurs ; ils exercent respectivement une tension et le poids. Si l’on inclut aussi le câble dans le système, certaines interactions deviennent internes. Le bilan doit être refait : on ne conserve pas mécaniquement la même liste de forces après un changement de frontière.

Une action mécanique peut être de contact, comme celle d’un câble ou d’un support, ou à distance, comme la pesanteur. Une force se caractérise par sa direction, son sens, sa norme et sa droite d’action. Son unité est le newton. Le poids d’un solide de masse m est modélisé par une force appliquée à son centre de gravité, de norme mg, dirigée verticalement vers le bas dans un champ de pesanteur uniforme.

Les actions réciproques entre deux solides ont des forces opposées, mais elles ne s’exercent pas sur le même solide. Elles ne s’annulent donc pas dans le bilan d’un seul des deux. Lorsqu’on étudie l’ensemble des deux solides, ces actions deviennent internes et se compensent dans le bilan global sous les hypothèses usuelles de la mécanique. Cette distinction évite de supprimer une force utile par erreur.

Une force peut produire une translation, mais aussi une tendance à la rotation. Son moment au point O dépend de la position de sa droite d’action. Pour une force F appliquée en A, le moment vectoriel est M(O) = OA × F. En situation plane, son amplitude vaut Fd lorsque d est la distance perpendiculaire de O à la droite d’action. Ce bras de levier n’est pas toujours la longueur OA.

Un couple est une action dont la résultante des forces est nulle mais dont le moment n’est pas nul. Son moment ne dépend pas du point de réduction. Deux forces opposées de même norme, appliquées sur des droites parallèles distinctes, constituent un exemple. Le moment d’une seule force et un couple ne sont donc pas la même représentation, même si leurs unités sont toutes deux des newtons mètres.

Le torseur des actions mécaniques rassemble une résultante R et un moment M(O) en un point O. Pour changer le point de réduction, on utilise M(B) = M(A) + BA × R. La résultante est conservée ; le moment dépend du point sauf si la résultante est nulle. Avant d’additionner des torseurs, il faut les exprimer au même point et dans la même base.

Dans un référentiel galiléen, un solide à l’équilibre satisfait deux conditions : la somme des forces extérieures est nulle et la somme de leurs moments en un même point est nulle. En situation plane, cela donne deux équations de projection des forces et une équation de moments. La seule annulation des forces ne suffit pas : un couple non nul pourrait encore provoquer une accélération de rotation.

Une liaison idéale transmet certaines actions et autorise certains mouvements. Un pivot parfait sans frottement n’oppose pas de couple autour de son axe libre ; une glissière parfaite n’oppose pas de force selon sa direction de translation libre. Les autres composantes peuvent assurer le blocage des mouvements interdits. Ces propriétés dépendent du modèle choisi et ne signifient pas que les liaisons réelles sont sans résistance.

Pour un contact avec frottement sec, on décompose l’action en une composante normale N et une composante tangentielle T. En adhérence, le modèle de Coulomb impose |T| ≤ μsN. Au seuil de glissement, l’égalité est atteinte. En glissement, un modèle courant donne une norme de frottement μdN, de sens opposé au mouvement relatif. Les coefficients doivent être fournis ou identifiés ; ils ne se devinent pas.

La relation de frottement n’est pas toujours une égalité. Sur une surface horizontale, un objet qui reste au repos sous une faible poussée peut recevoir une force tangentielle inférieure au maximum admissible. Utiliser systématiquement μN comme force réelle en adhérence ferait croire à une accélération ou à un équilibre incorrect. On calcule d’abord la force nécessaire à l’équilibre, puis on vérifie qu’elle reste admissible.

Pour un solide en translation rectiligne dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures vaut ma, où a est l’accélération du centre de masse. Les grandeurs sont vectorielles ; sur un axe fixé, on utilise des valeurs algébriques cohérentes. Une somme de forces nulle implique une accélération nulle, mais autorise un mouvement à vitesse constante. Elle n’impose pas que cette vitesse soit nulle.

Pour un solide tournant autour d’un axe fixe, dont le centre de gravité se trouve sur cet axe, la somme des moments extérieurs autour de l’axe vaut Jα. J est le moment d’inertie par rapport à l’axe, en kg·m², et α l’accélération angulaire en rad/s². Une résultante de moments de 2 N·m appliquée à J = 0,04 kg·m² donne α = 50 rad/s².

Le moment d’inertie dépend de la répartition de la masse par rapport à l’axe. Deux solides de même masse ne présentent pas nécessairement la même inertie de rotation. Une inertie équivalente permet parfois de ramener plusieurs éléments tournants à un même arbre en utilisant les rapports de transmission et l’énergie cinétique. La valeur fournie doit correspondre à l’axe effectivement étudié.

Un résultat négatif n’est pas nécessairement une erreur : il peut indiquer qu’une force inconnue agit dans le sens opposé à celui supposé. En revanche, une réaction normale négative dans un contact unilatéral peut signaler une perte de contact et invalider le modèle choisi. Il faut donc interpréter les résultats au regard des contraintes physiques, puis adapter l’étude si nécessaire.

Pour poursuivre ton entraînement, ouvre la rubrique S’entraîner du site, à l’adresse /exercices. Reprends d’abord les questions de cette leçon sans afficher les réponses, puis compare ton raisonnement à la correction.