Dynamique d’un circuit RC

Un condensateur comporte deux surfaces conductrices, les armatures, séparées par un isolant. Lorsqu’il est chargé, elles portent des charges opposées +q et −q. Le composant reste globalement neutre dans le modèle étudié. Pour un condensateur idéal de capacité constante, q = CuC, si q désigne la charge de l’armature choisie positive pour la tension uC. La capacité C s’exprime en farads, la charge en coulombs et la tension en volts. Des capacités de quelques picofarads à plusieurs milliers de microfarads existent selon les usages ; il faut lire le composant utilisé.

L’intensité représente un débit algébrique de charges : i = dq/dt. Avec la convention où le courant entre dans l’armature de charge q, on obtient i = C duC/dt. Cette relation n’est pas valable avec n’importe quelle orientation choisie au hasard : si on inverse seulement la flèche du courant, un signe moins apparaît. Dans l’isolant idéal, aucune charge ne traverse directement d’une armature à l’autre. Les charges circulent dans les fils et s’accumulent sur les surfaces. La tension est continue au cours d’une commutation idéale avec courant fini.

La géométrie et le matériau isolant influencent la capacité. Pour des armatures planes parallèles dans les limites du modèle usuel, augmenter leur surface ou diminuer leur écartement augmente C. Un capteur capacitif exploite une variation de géométrie ou de milieu pour modifier la capacité mesurée. Un écran tactile et certains capteurs de proximité utilisent ce principe général. Pour vérifier expérimentalement une influence, on ne change qu’un paramètre à la fois et on maintient les autres aussi constants que possible.

On relie à t = 0 une résistance R et un condensateur C en série à une source idéale de tension constante E. Dans les orientations du schéma, la loi des mailles donne E = Ri + uC. En remplaçant i par C duC/dt, on obtient RC duC/dt + uC = E. On pose τ = RC. Comme un ohm multiplié par un farad est une seconde, τ représente une durée. L’équation différentielle s’écrit alors duC/dt + uC/τ = E/τ.

La solution générale est uC(t) = E + K exp(−t/τ). Sa vérification consiste à dériver puis à remplacer dans l’équation ; les termes exponentiels s’annulent. La constante K vient de la condition initiale. Si uC(0) = U₀, K = U₀ − E. Si le condensateur est initialement déchargé, U₀ = 0 et uC(t) = E[1 − exp(−t/τ)]. Le courant vaut alors i(t) = (E/R) exp(−t/τ). Il est maximal juste après la fermeture et tend vers zéro, tandis que la tension tend vers E.

La charge ne se termine pas exactement après une durée finie dans le modèle exponentiel. À τ, uC vaut environ 0,632E ; à 3τ, environ 0,950E ; à 5τ, environ 0,993E. Dire que le régime stationnaire est pratiquement atteint après quelques constantes de temps dépend donc de la précision recherchée. La tangente à l’origine de la courbe de charge d’un condensateur initialement déchargé coupe l’asymptote uC = E à t = τ. Cette construction fournit une autre estimation graphique.

Pour décharger, on retire la source du circuit fermé et on relie le condensateur à la résistance. On conserve les orientations précédentes. La loi des mailles donne Ri + uC = 0, donc RC duC/dt + uC = 0. Si la tension initiale est U₀, la solution est uC(t) = U₀ exp(−t/τ). Le courant vaut i(t) = −(U₀/R) exp(−t/τ). Son signe négatif indique que le courant réel est opposé à l’orientation de charge. Une intensité algébrique négative ne signifie pas une intensité physiquement impossible.

À t = τ, la tension de décharge vaut U₀/e, environ 36,8 % de sa valeur initiale. La tangente initiale coupe l’axe des temps à τ. On peut aussi exploiter ln(uC/U₀) = −t/τ quand uC est strictement positive et que les mesures restent suffisamment éloignées du bruit. Cette relation permet de reconnaître une exponentielle ; elle ne justifie pas d’ignorer des écarts systématiques. La résistance d’entrée de l’appareil, une fuite du condensateur ou la résistance interne de la source peuvent modifier le circuit réel.

Au laboratoire, choisis une tension compatible avec les limites du composant, respecte la polarité d’un condensateur polarisé et décharge-le par une résistance avant de modifier le montage. Mesure uC en parallèle avec le condensateur. La durée totale d’acquisition doit couvrir plusieurs constantes de temps ; le pas doit être nettement inférieur à τ pour décrire le début de l’évolution. Réalise d’abord une estimation de τ avec les valeurs nominales. Le déclenchement et la définition de t = 0 doivent être explicités pour comparer modèle et mesures.

Pour tester le comportement capacitif d’un dipôle, cherche une accumulation de charges et une évolution compatible avec la relation courant-dérivée de tension dans le domaine étudié. Une seule courbe ressemblant à une exponentielle ne démontre pas que tous les composants sont idéaux. Compare plusieurs valeurs de R, examine les résidus d’ajustement et conserve les unités des mesures. Un écart reproductible mérite une explication ; changer arbitrairement la capacité pour forcer l’accord ne remplace pas l’analyse du circuit réel.

Erreurs fréquentes : imposer une condition initiale non donnée, oublier de retirer la source pour décrire la décharge, traiter τ comme la durée exacte de fin de charge ou inverser la relation C = τ/R. Pour s’entraîner sur les circuits et les acquisitions, rejoins S’entraîner à l’adresse /exercices.