Satellites et planètes

Un satellite ne reste pas en orbite parce que la gravitation disparaît. Il est continuellement accéléré vers l’astre central tandis que sa vitesse l’entraîne tangentiellement. L’orbite résulte de cette combinaison. Pour l’étudier, on choisit le système satellite, assimilé à son centre de masse, et un référentiel adapté. Autour de la Terre, le référentiel géocentrique a son origine au centre terrestre et des axes orientés vers des directions stellaires considérées fixes.

Le référentiel géocentrique ne tourne pas avec le sol : il diffère du référentiel terrestre. Pour les mouvements orbitaux étudiés ici, on le suppose galiléen. On néglige les effets des autres astres, les frottements atmosphériques et la forme non sphérique de la Terre. L’astre attracteur est modélisé par une répartition sphérique de masse M, ou par un point. Le satellite de masse m a une masse négligeable devant M.

La force gravitationnelle a pour norme F = G_N Mm/r², où r est la distance entre les centres et G_N la constante de gravitation. Elle est attractive et dirigée vers le centre de l’astre. Si u⃗_r pointe du centre vers le satellite, F⃗ = −G_N Mm u⃗_r/r². La deuxième loi donne a⃗ = −G_N M u⃗_r/r². La masse du satellite disparaît ; la masse centrale et la distance restent déterminantes.

Sur une orbite circulaire de rayon r, la gravitation est purement normale à la trajectoire. La composante tangentielle de l’accélération est donc nulle : dv/dt = 0. La valeur de la vitesse est constante. En égalant les composantes normales, on obtient v²/r = G_N M/r², puis v = √(G_N M/r). Une orbite circulaire plus éloignée est parcourue plus lentement autour du même astre.

La longueur d’un tour est 2πr. Comme la vitesse a une valeur constante, T = 2πr/v. En remplaçant v, T = 2π√(r³/(G_N M)). Ainsi T²/r³ = 4π²/(G_N M). Cette démonstration constitue la forme circulaire de la troisième loi de Kepler. La période augmente lorsque le rayon augmente ; le rapport T²/r³ est commun aux satellites du même astre, dans les hypothèses retenues.

La vitesse d’une orbite circulaire n’est pas un réglage indépendant du rayon. Une propulsion modifie la vitesse et peut conduire à une nouvelle orbite elliptique ; les relations circulaires ne décrivent pas automatiquement toute la phase de transfert. Les calculs précédents concernent des orbites établies dans un modèle simple, et non le pilotage détaillé d’un lancement.

La première loi de Kepler décrit des orbites elliptiques dont l’astre attracteur occupe un foyer. Une ellipse possède deux foyers et un grand axe ; son demi-grand axe est noté a. Le cercle est un cas particulier où les foyers se confondent avec le centre. Sur une ellipse non circulaire, la distance à l’astre varie au cours du mouvement.

La deuxième loi, dite loi des aires, affirme que le segment reliant l’astre au corps en orbite balaie des aires égales pendant des durées égales. Le corps se déplace plus vite près de l’astre et plus lentement lorsqu’il en est éloigné. Des distances parcourues égales pendant des temps égaux ne sont donc pas attendues sur une ellipse. La grandeur constante est la vitesse de balayage des aires.

La troisième loi généralise le rapport précédent : T²/a³ est constant pour des corps de masse négligeable devant le même astre central. Sur une orbite circulaire, a = r. On ne doit pas comparer directement ce rapport pour des satellites de la Terre et des planètes autour du Soleil : les masses centrales sont différentes. Si la masse du compagnon n’est pas négligeable, le modèle simplifié doit être adapté.

Un satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur au sol. Il doit parcourir une orbite circulaire dans le plan équatorial, dans le même sens que la rotation terrestre, et avec une période égale à la période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles. Avoir seulement cette période ne suffit pas : une orbite inclinée ou elliptique ne maintient pas le satellite au-dessus du même point terrestre.

Le satellite géostationnaire est immobile dans le référentiel lié au sol, mais se déplace dans le référentiel géocentrique. Son accélération dans ce dernier n’est pas nulle. Cette situation montre pourquoi préciser le référentiel fait partie du raisonnement, et pourquoi une apparente immobilité ne prouve pas l’absence de force.

Dans le plan orbital, l’aire du triangle entre deux vecteurs position de coordonnées (xᵢ, yᵢ) et (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁), mesurées depuis le foyer, vaut |xᵢyᵢ₊₁ − yᵢxᵢ₊₁|/2. Un programme peut parcourir les couples successifs et calculer ce quotient par la durée correspondante. Les triangles approchent des secteurs courbes ; leur égalité n’est donc pas exacte pour de grands intervalles, même avec un modèle orbital parfait.

S’entraîner : accède aux activités par /exercices. La suite du lot étudie les écoulements des fluides, un autre domaine d’application des modèles mécaniques.