Mouvements dans un champ uniforme

Un champ uniforme possède, dans la région étudiée, une direction, un sens et une valeur indépendants de la position. Dans cette leçon, il est aussi constant au cours du temps. Près de la surface terrestre et sur une petite zone, on modélise le champ de pesanteur par un vecteur g⃗ vertical vers le bas. Cette approximation cesse d’être suffisante si les variations d’altitude ou les distances rendent la variation du champ importante.

Pour un projectile après son lancement, le système est l’objet de masse constante, représenté par son centre de masse G. On travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Si l’air n’exerce qu’une influence négligeable, la seule force est le poids : m a⃗ = m g⃗, donc a⃗ = g⃗. La masse disparaît de l’expression de l’accélération. Ce résultat ne signifie pas que les frottements sont toujours négligeables, notamment pour une feuille ou un parachute.

Choisissons Ox horizontal et Oy vertical vers le haut. Alors aₓ = 0 et aᵧ = −g. En intégrant une première fois, vₓ(t) = v₀ₓ et vᵧ(t) = v₀ᵧ − gt. Une seconde intégration donne x(t) = x₀ + v₀ₓt et y(t) = y₀ + v₀ᵧt − gt²/2. Les constantes sont fixées par la position et la vitesse à t = 0 ; les oublier empêcherait de décrire le lancement réel.

Le mouvement est plan : on choisit le troisième axe perpendiculaire à la vitesse initiale et au champ. L’accélération et la vitesse initiale n’ont aucune composante selon cet axe. La coordonnée correspondante demeure donc constante. Si la vitesse initiale est parallèle au champ, la trajectoire se réduit à une droite ; sinon elle se situe dans le plan engendré par ces deux directions.

Si v₀ₓ est non nul, on exprime t = (x − x₀)/v₀ₓ et on remplace t dans y(t). On obtient y = y₀ + (v₀ᵧ/v₀ₓ)(x − x₀) − g(x − x₀)²/(2v₀ₓ²), une parabole. Cette élimination n’est pas possible en divisant par v₀ₓ lorsque le lancement est vertical. Il faut alors conserver x constant et travailler avec l’équation verticale.

Au sommet d’un lancer oblique, seule la composante verticale de la vitesse s’annule. La composante horizontale subsiste et l’accélération reste égale à g⃗. Le sommet n’est donc ni un point d’arrêt ni un point d’accélération nulle. Pour une portée entre deux points à la même hauteur, on peut chercher la seconde solution de y(t) = y₀. Si l’arrivée se fait plus bas ou plus haut, il faut résoudre avec l’altitude réelle.

Entre les plaques parallèles d’un condensateur plan, loin des bords, on peut modéliser le champ électrique par un champ uniforme. Dans le modèle idéal, sa valeur est E = U/d, où U est la valeur positive de la tension entre les plaques et d leur écartement. À distance fixée, augmenter la tension augmente E ; à tension fixée, écarter les plaques le diminue. Le champ est orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

Une particule de charge q subit la force électrique F⃗_e = qE⃗. Si son poids est négligeable devant cette force, la deuxième loi donne a⃗ = (q/m)E⃗. Le signe de q est essentiel : une charge positive accélère dans le sens du champ, une charge négative dans le sens opposé. Les méthodes d’intégration sont les mêmes que pour la pesanteur, en remplaçant chaque composante d’accélération par sa valeur électrique.

Un accélérateur linéaire augmente l’énergie cinétique de particules chargées grâce à un champ électrique orienté convenablement pendant leur passage. Plusieurs zones d’accélération peuvent se succéder ; le champ doit être synchronisé avec le mouvement dans un dispositif à tension variable. La charge ne gagne de l’énergie que si le travail de la force électrique est positif. Il faut distinguer une accélération qui augmente la vitesse d’une déviation qui change surtout sa direction.

Dans le champ de pesanteur uniforme, l’énergie potentielle est E_p = mgy avec l’axe vertical ascendant et une origine d’énergie choisie à y = 0. Sans frottements, l’énergie mécanique E_m = mv²/2 + mgy se conserve. Entre deux positions, v_B² = v_A² + 2g(y_A − y_B). Cette relation donne la valeur de la vitesse sans fournir directement la date ni la direction. Elle complète les équations horaires, mais ne les remplace pas pour reconstruire une trajectoire.

Pour la balle lancée horizontalement du premier exemple, v_A² = 16 et 2g(y_A − y_B) = 100. Ainsi v_B = √116, soit environ 10,8 m·s⁻¹. Le calcul vectoriel donne la même valeur à partir de vₓ = 4 et vᵧ = −10. Cette comparaison constitue un contrôle utile : si les résultats diffèrent, il faut rechercher un signe oublié, une mauvaise condition initiale ou une hypothèse appliquée de manière incohérente.

Dans un champ électrique électrostatique, le travail entre A et B vaut W_A→B = q(V_A − V_B). Le théorème de l’énergie cinétique donne ΔE_c = W lorsque les autres travaux sont négligeables. Une particule négative ne gagne donc pas de l’énergie en allant automatiquement vers les potentiels plus faibles : le signe de q doit être conservé dans l’expression.

S’entraîner : utilise l’espace Exercices du site par /exercices. Pour étudier ensuite les satellites, il faudra tenir compte d’un champ de gravitation dont la direction varie avec la position.