Décrire le mouvement

Un passager assis est immobile par rapport au train et en mouvement par rapport au quai. La description commence donc par le système étudié et le référentiel. Un référentiel associe un solide de référence à un repérage de l’espace et du temps. Pour un déplacement dans une salle, on choisit souvent le référentiel terrestre lié au sol. Ce choix ne signifie pas encore que toutes les lois de la dynamique peuvent s’y appliquer sans approximation.

Un objet étendu peut être représenté par un point M lorsque sa taille et sa rotation ne sont pas nécessaires à la question. On suit, par exemple, le centre d’une petite bille. Le modèle ne décrit alors pas la rotation de la bille sur elle-même. Dans un repère cartésien orthonormé fixe, le vecteur position s’écrit OM⃗ = x i⃗ + y j⃗ + z k⃗. Ses coordonnées sont des longueurs algébriques, exprimées en mètres. Une coordonnée négative indique un côté de l’origine, pas une distance négative.

Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires. Elles indiquent où se trouve le point à chaque instant. La trajectoire est l’ensemble des positions successives. Elle ne suffit pas à connaître la rapidité du mouvement : deux véhicules peuvent parcourir la même route à des rythmes différents. Déplacer l’origine du repère change les coordonnées, mais pas les déplacements entre deux positions.

Entre deux instants proches, le déplacement divisé par la durée donne une vitesse moyenne vectorielle. Lorsque la durée tend vers zéro, on obtient la vitesse instantanée : v⃗ = dOM⃗/dt. Dans le repère fixe choisi, on dérive chaque coordonnée séparément : vₓ = dx/dt, vᵧ = dy/dt et v_z = dz/dt. Les coordonnées de la vitesse sont en m·s⁻¹. Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement lorsque sa norme est non nulle.

La valeur de la vitesse est la norme v = √(vₓ² + vᵧ² + v_z²). Elle n’est jamais négative. Sur un axe, v = |vₓ| : une vitesse algébrique négative indique que le mobile se déplace dans le sens contraire de l’axe. Ne confonds donc pas la pente d’une courbe x(t), qui peut être négative, avec la valeur positive affichée par un compteur.

L’accélération décrit la variation du vecteur vitesse : a⃗ = dv⃗/dt. Ses coordonnées sont les dérivées des coordonnées de vitesse, donc les dérivées secondes des coordonnées de position. L’unité m·s⁻² signifie une variation de vitesse, en m·s⁻¹, par seconde. La direction, le sens ou la norme de v⃗ peuvent changer. Une accélération peut donc exister même si la valeur de la vitesse reste constante.

Un mouvement rectiligne garde une direction fixe. S’il est uniforme, le vecteur vitesse est constant et l’accélération est nulle. S’il est rectiligne uniformément accéléré au sens cinématique, le vecteur accélération est constant et la vitesse algébrique varie linéairement. Cela n’implique pas que la valeur de la vitesse augmente à tout instant : selon les signes de vₓ et aₓ, le point peut ralentir puis repartir dans l’autre sens.

Sur un cercle de rayon R, le repère de Frenet est attaché au point mobile. Son vecteur unitaire tangent u⃗_t suit le mouvement ; son vecteur unitaire normal u⃗_n est dirigé vers le centre. Pour une vitesse non nulle, v⃗ = v u⃗_t et a⃗ = (dv/dt) u⃗_t + (v²/R) u⃗_n. La composante tangentielle décrit le changement de rapidité ; la composante normale décrit le changement de direction.

Dans un mouvement circulaire uniforme, dv/dt = 0, mais a⃗ = (v²/R) u⃗_n n’est pas nul. Sa norme est constante et sa direction change avec la position. Dire que l’accélération est constante serait donc faux si l’on parle du vecteur dans un repère fixe. Le repère de Frenet est un outil de décomposition ; il ne remplace pas le référentiel dans lequel on décrit le mouvement.

Une chronophotographie rassemble des positions séparées par une même durée Δt. Avant tout calcul, on calibre les distances avec une longueur connue dans le plan du mouvement, on identifie l’intervalle réel entre les images et on fixe l’orientation des axes. Une caméra inclinée produit une déformation de perspective. Le point suivi doit rester le même d’une image à l’autre ; suivre alternativement le bord et le centre d’un objet fausse les différences de position.

Pour un instant intérieur tᵢ, une approximation centrée est vₓ(tᵢ) ≈ (xᵢ₊₁ − xᵢ₋₁)/(2Δt), avec une expression analogue pour y. L’accélération peut être estimée par aₓ(tᵢ) ≈ (xᵢ₊₁ − 2xᵢ + xᵢ₋₁)/Δt². Ces relations sont des approximations sur des mesures ; diminuer Δt ne supprime pas automatiquement les erreurs, car la dérivation amplifie le bruit de pointage.

S’entraîner : retrouve les activités dans l’espace Exercices du site, accessible par /exercices. Pour poursuivre le cours, les lois de Newton relient les variations de vitesse aux actions mécaniques.