Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, que l’on appelle succès S et échec E. Le mot succès est un choix de description : un objet défectueux peut être appelé succès si c’est ce que l’on compte. On note p la probabilité du succès et 1−p celle de l’échec, avec 0≤p≤1. La variable de Bernoulli associée vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la même probabilité p de succès à chaque épreuve. Le nombre n est un entier fixé. L’indépendance signifie ici que les résultats déjà obtenus ne modifient pas les probabilités des épreuves suivantes. La probabilité d’une liste complète d’issues est alors le produit des probabilités de ses composantes. L’univers des listes peut être écrit {S ;E}ⁿ ou {0 ;1}ⁿ.

Le modèle doit être justifié à partir de la situation. Des tirages avec remise dans une urne inchangée donnent des répétitions de même loi indépendantes, si les tirages sont réalisés indépendamment. Sans remise, les probabilités changent en général selon les résultats précédents. De même, une répétition de tests ne garantit pas automatiquement leur indépendance si une cause commune influence tous les résultats. La loi binomiale décrit le modèle retenu ; elle ne prouve pas que les hypothèses sont réalistes.

Si X compte les succès d’un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, on dit que X suit la loi binomiale ℬ(n ;p). Ses valeurs possibles sont les entiers de 0 à n. Pour 0<p<1 et un entier k de cet ensemble, P(X=k)=C(n ;k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, où C(n ;k)=n !/(k !(n−k) !) est le coefficient binomial. Il compte les choix de k positions parmi les n positions de la liste.

Pour démontrer la formule, fixons une liste comportant k succès. L’indépendance donne la probabilité pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ pour cette liste. Il existe C(n ;k) listes de ce type, correspondant aux différentes positions des succès. Ces événements sont disjoints : on peut donc additionner leurs probabilités. On obtient exactement le coefficient multiplicatif C(n ;k), qui serait absent si l’on ne comptait qu’un seul ordre des résultats.

Les cas p=0 et p=1 sont particuliers mais simples : X vaut respectivement 0 ou n avec probabilité 1. On les traite directement, sans manipuler une écriture ambiguë telle que 0⁰. Les probabilités de toutes les valeurs de X s’additionnent à 1. Le nombre moyen de succès est E(X)=np ; sa variance est np(1−p) et son écart type √(np(1−p)). Une espérance n’est pas nécessairement entière : elle décrit une moyenne théorique, pas un résultat obligatoire d’une expérience.

Un arbre pondéré reste utile même lorsque les épreuves ne sont pas indépendantes. Une branche du second niveau porte alors une probabilité conditionnelle, calculée sachant le résultat du premier niveau. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités successives de ses branches. Pour un événement obtenu par plusieurs chemins disjoints, on additionne les probabilités des chemins correspondants : c’est une utilisation de la formule des probabilités totales.

Pour des épreuves indépendantes mais de probabilités différentes, on peut encore multiplier le long des chemins, mais le nombre total de succès ne suit pas en général une loi binomiale avec un paramètre unique. Il faut donc distinguer deux conditions : indépendance des épreuves et égalité de leurs probabilités de succès. Une seule de ces conditions ne suffit pas à reconnaître le schéma de Bernoulli utilisé pour la formule binomiale.

Pour X suivant ℬ(n ;p), la probabilité P(X≤k) est la somme des probabilités de 0 à k succès. Pour une borne entière k, P(X≥k)=1−P(X≤k−1), tandis que P(X>k)=1−P(X≤k). Cette différence d’une unité est essentielle. Pour des entiers a≤b, P(a≤X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a−1). Une calculatrice ou un algorithme permet de faire ces sommes sans écrire chaque terme à la main.

Un intervalle de valeurs peut contenir X avec une probabilité élevée, sans contenir tous les résultats possibles. Pour chercher le plus petit entier k tel que P(X>k)≤α, on calcule les probabilités cumulées dans l’ordre et on s’arrête au premier k satisfaisant la condition. On vérifie aussi l’entier précédent pour établir la minimalité. On peut chercher de même un intervalle [a ;b] dont la probabilité dépasse 1−α. Les bornes choisies doivent être annoncées et leur probabilité effectivement calculée.

La simulation reproduit le schéma en effectuant n essais aléatoires de probabilité p, puis en comptant les succès. Répéter cette simulation donne des fréquences qui permettent de comparer l’expérience numérique à la loi calculée. Une fréquence observée n’est pas une probabilité exacte et peut varier d’une simulation à l’autre. Les événements rares peuvent demander de nombreuses répétitions pour être observés ; leur absence dans un petit échantillon ne signifie pas une probabilité nulle.