Sommes de variables aléatoires

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d’une expérience. Si X et Y sont définies sur une même expérience, S = X + Y associe à chaque issue la somme des deux nombres obtenus sur cette issue. Il faut donc additionner les valeurs qui se produisent ensemble, pas simplement juxtaposer deux tableaux de lois. La connaissance des deux lois séparées ne donne pas toujours la loi de S, car elle ne dit pas quelles valeurs de X et de Y peuvent apparaître simultanément.

Considérons deux lancers indépendants d’une pièce équilibrée. X vaut 1 au premier pile et 0 sinon ; Y fait de même au second lancer. Les quatre issues ordonnées sont équiprobables. La somme vaut 0 pour face-face, 1 pour pile-face ou face-pile et 2 pour pile-pile. Sa loi est donc donnée par les probabilités 1/4, 1/2, 1/4. Les variables X et Y sont des indicatrices : elles comptent chacune la réalisation d’un événement. Leur somme compte un nombre de succès.

Pour deux variables aléatoires finies, E(X + Y) = E(X) + E(Y). Cette égalité ne demande aucune indépendance. Pour un réel a, E(aX) = aE(X), et l’ajout d’une constante b donne E(aX + b) = aE(X) + b. Pour comprendre ces règles, pense à une longue liste de résultats : la moyenne de la somme de deux colonnes est la somme des moyennes des colonnes, même si leurs valeurs se répondent. Le calcul pondéré reproduit cette propriété.

Pour plusieurs variables, on applique la même règle successivement. Ainsi E(X₁ + … + Xₙ) = E(X₁) + … + E(Xₙ). Cette méthode évite souvent de déterminer une loi complète. Un coût fixe se soustrait une seule fois au gain total ; un coût prélevé à chaque essai doit, lui, être multiplié par le nombre d’essais. Avant de calculer, écris donc précisément la variable qui représente la situation.

Multiplier une variable par a multiplie sa variance par a² : V(aX) = a²V(X). Ajouter une constante ne modifie pas les écarts autour de la moyenne : V(X + b) = V(X). Par conséquent, V(aX + b) = a²V(X). Si une durée passe des heures aux minutes, elle est multipliée par 60 ; sa variance est multipliée par 3 600, et son écart type par 60. Le carré du coefficient n’est pas un détail de notation.

Dans un modèle de succession d’épreuves indépendantes, les variables associées aux épreuves sont indépendantes. On utilise alors V(X + Y) = V(X) + V(Y). Pour une famille de variables mutuellement indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances. L’indépendance doit venir du modèle annoncé ; il ne suffit pas que les variables portent des noms différents ou aient la même loi. L’additivité est admise ici, sans introduire un calcul général de covariance.

Un contre-exemple aide à mémoriser la condition. Soit X une variable de Bernoulli de paramètre 1/2 et posons Y = 1 − X. Les deux variables ne sont pas indépendantes et leur somme est toujours égale à 1. Sa variance est donc nulle, alors que V(X) + V(Y) = 1/2. Les deux composantes se compensent exactement. À l’inverse, X + X = 2X a pour variance 4V(X), pas 2V(X) : écrire deux fois X ne crée pas deux épreuves indépendantes.

Un échantillon de taille n est ici une liste X₁, …, Xₙ de variables indépendantes ayant la même loi, avec n entier strictement positif. Notons μ leur espérance commune et σ² leur variance commune. La somme Sₙ vaut X₁ + … + Xₙ ; sa moyenne Mₙ vaut Sₙ/n. Par linéarité, E(Sₙ) = nμ et E(Mₙ) = μ. La moyenne garde donc le même centre théorique, quelle que soit la taille de l’échantillon.

L’indépendance donne V(Sₙ) = nσ². Comme Mₙ = (1/n)Sₙ, on obtient V(Mₙ) = (1/n²) × nσ² = σ²/n. Son écart type est σ/√n. Le total devient plus dispersé en valeur absolue, tandis que la moyenne devient moins dispersée. Multiplier n par quatre divise l’écart type de la moyenne par deux. Si σ = 0, toutes ces variances sont nulles : les variables sont constantes avec probabilité 1.

La dernière ligne d’une solution doit répondre à la question posée. Une variance de 9 ne s’interprète pas comme une durée de 9 minutes. Un écart type mesure une dispersion autour de l’espérance ; il ne donne pas un intervalle contenant toutes les observations. Pour transformer cette dispersion en borne de probabilité, on utilisera l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans le chapitre suivant.