Primitives

Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F′(x)=f(x) pour tout x de I. L’inconnue est donc une fonction, pas un nombre. Chercher une primitive revient à lire la dérivation dans le sens inverse. Par exemple, x² est une primitive de 2x sur ℝ. Mais x²+3 et x²−7 le sont aussi, puisque la dérivée d’une constante est nulle.

On admet à ce stade que toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives. Cela ne signifie pas que l’on sache toujours les exprimer avec les fonctions usuelles. Pour calculer une primitive explicite, on reconnaît des dérivées déjà connues et on vérifie le résultat en le dérivant. L’existence d’une primitive et la possibilité d’écrire une formule simple sont deux questions différentes.

Deux primitives F et G d’une même fonction continue sur un même intervalle diffèrent d’une constante. En effet, (F−G)′=f−f=0. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe donc C réel tel que F(x)−G(x)=C sur cet intervalle. Si F est une primitive, toutes les primitives sont ainsi les fonctions F+C. L’hypothèse d’intervalle est importante : sur des composantes séparées d’un domaine, les constantes peuvent être différentes.

Pour un entier relatif n différent de −1, une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1), sur tout intervalle où les expressions sont définies. Pour n≥0, on peut travailler sur ℝ. Pour n négatif, l’intervalle ne doit pas contenir 0. Le cas n=−1 est particulier : une primitive de 1/x est ln(x) sur ]0 ;+∞[ et ln(−x) sur ]−∞ ;0[. On peut réunir les deux écritures sous ln(|x|), en conservant une étude par intervalle.

Une primitive de exp(x) est exp(x). Une primitive de cos(x) est sin(x), et une primitive de sin(x) est −cos(x). Sur les réels strictement positifs, une primitive de 1/√x est 2√x. Pour une constante k, une primitive de la fonction constante k est kx. Ces résultats se vérifient en dérivant : le signe moins du cosinus et le coefficient 2 devant la racine sont des points de vigilance.

La recherche de primitives respecte les combinaisons linéaires. Si F est une primitive de f et G une primitive de g sur le même intervalle, alors aF+bG est une primitive de af+bg pour des constantes réelles a et b. En revanche, le produit de deux primitives n’est pas en général une primitive du produit : la dérivation d’un produit produit deux termes. Il faut reconnaître une structure complète, et non traiter chaque facteur séparément.

Les formules de composition donnent des familles de primitives. Si u est dérivable, une primitive de u′exp(u) est exp(u). Une primitive de u′cos(u) est sin(u), et une primitive de u′sin(u) est −cos(u). Pour un entier n différent de −1, une primitive de u′uⁿ est uⁿ⁺¹/(n+1), avec les conditions de domaine nécessaires. Si u est strictement positive, une primitive de u′/u est ln(u).

Le facteur u′ peut apparaître à un coefficient constant près. Par exemple, pour x exp(x²), l’intérieur u(x)=x² a pour dérivée 2x. La fonction donnée est la moitié de u′exp(u), donc on prend exp(x²)/2. On n’introduit pas un facteur dépendant de x pour le retirer ensuite comme une constante : cela modifierait le problème. Si aucun schéma connu ne correspond, on ne fabrique pas une règle de produit ou de quotient inexistante.

Une valeur imposée en un point fixe une unique primitive. Si F₀ est une primitive connue et si l’on cherche F(a)=b, on écrit F=F₀+C puis C=b−F₀(a). L’unicité vient de la différence constante entre deux primitives : si elles ont la même valeur en a, cette constante est nulle. Cette démarche résout une première forme d’équation différentielle, y′=f, complétée par une condition initiale.

Comme F′=f, le signe de la fonction donnée renseigne sur les variations de sa primitive. Si f≥0 sur un intervalle, F y est croissante ; si f≤0, F y est décroissante. Le signe de F lui-même n’est pas imposé par celui de f, car on peut déplacer sa courbe en ajoutant une constante. De même, une primitive peut être croissante alors que la fonction donnée diminue : des pentes positives mais de plus en plus petites décrivent cette situation.

On peut aussi raisonner en comparant deux fonctions dont on connaît les dérivées. Si l’on veut montrer que F et G sont égales sur un intervalle, une méthode consiste à démontrer F′=G′ puis à vérifier F(a)=G(a) en un point. L’égalité des seules dérivées ne suffit pas, car une constante peut subsister. La valeur au point sert à déterminer cette constante ou à prouver qu’elle est nulle.

Le meilleur contrôle final reste la dérivation. Elle permet de distinguer immédiatement une primitive de la bonne fonction et une expression simplement ressemblante. Pour un logarithme, contrôle aussi l’argument ; pour une racine, le domaine de dérivation ; pour une fonction trigonométrique composée, le coefficient intérieur. Cette vérification courte explique le résultat et limite les erreurs de mémorisation dans les calculs ultérieurs d’intégrales.