Équations différentielles

Une équation différentielle relie une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. Dans y′=ay, le coefficient a est un réel fixé et y désigne une fonction de la variable x. Résoudre l’équation sur un intervalle consiste à déterminer toutes les fonctions dérivables qui vérifient cette relation en chaque point. Une condition initiale, par exemple y(0)=3, impose en plus une valeur de la fonction.

Pour tout réel a, les solutions de y′=ay sont y(x)=Cexp(ax), où C est une constante réelle. On vérifie immédiatement que la dérivée est aCexp(ax)=ay(x). La constante peut être positive, nulle ou négative. La fonction nulle est toujours une solution. Lorsque a=0, on retrouve y′=0 : toutes les fonctions constantes sont solutions, en accord avec Cexp(0x)=C.

Pour démontrer que ces solutions sont les seules, supposons y solution et posons z(x)=exp(−ax)y(x). Par la règle du produit, z′(x)=exp(−ax)(y′(x)−ay(x))=0. La fonction z est donc constante sur l’intervalle : z=C, d’où y=Cexp(ax). Cette preuve ne divise pas par y et conserve donc la solution nulle, qu’une division non autorisée pourrait faire disparaître.

Considérons y′=ay+b, avec a et b constants et a non nul. Une solution constante a une dérivée nulle, donc sa valeur s vérifie as+b=0 : on trouve s=−b/a. Si l’on pose z=y−s, alors z′=y′=a(z+s)+b=az. La différence à l’équilibre suit donc une équation homogène. Toutes les solutions s’écrivent y(x)=−b/a+Cexp(ax).

La vérification de cette formule est rapide : la dérivée vaut aCexp(ax), et ay+b=a(−b/a+Cexp(ax))+b=aCexp(ax). Pour a=0, cette formule n’a pas de sens, puisqu’elle contient une division par a. Il faut traiter séparément y′=b, dont les solutions sont bx+C. Séparer ce cas évite une formule apparemment générale mais fausse ou non définie.

Si a<0, l’exponentielle tend vers 0 en +∞ : chaque solution tend vers l’équilibre −b/a. Une condition initiale située au-dessus de cet équilibre donne une solution qui s’en rapproche en décroissant ; située au-dessous, elle s’en rapproche en croissant. Si a>0, l’écart à l’équilibre grandit en valeur absolue lorsque C est non nul. La solution d’équilibre elle-même reste constante dans tous les cas.

La méthode par différence fonctionne aussi pour y′=ay+g(x), où le second terme dépend de x. Si une solution particulière p est donnée, on la vérifie d’abord en calculant p′ et ap+g. Pour une autre solution y, la différence z=y−p vérifie z′=az. Les solutions sont donc y=p+Cexp(ax). Ce raisonnement permet de résoudre l’équation sans exiger une méthode générale de recherche de la solution particulière.

Réciproquement, toute fonction de cette forme vérifie l’équation, car sa dérivée vaut p′+aCexp(ax)=ap+g+aCexp(ax)=ay+g. On doit traiter les deux sens pour conclure que la famille trouvée contient exactement toutes les solutions. Une condition initiale y(x₀)=y₀ fixe ensuite C grâce à exp(ax₀), qui est toujours strictement positive et donc non nulle.

La somme de deux solutions de l’équation homogène y′=ay est encore une solution de cette même équation, et une multiplication par une constante conserve aussi la propriété. Pour une équation avec second membre non nul, additionner deux solutions donne en général deux fois ce second membre. C’est la différence de deux solutions qui résout l’équation homogène. Cette distinction explique la structure solution particulière plus solution homogène.

Une équation différentielle fournit une pente à partir d’une position. La méthode d’Euler utilise cette information pour construire des approximations successives. Pour y′=ay+b, depuis une valeur approchée Y au temps t, on prend au temps t+h la valeur Y+h(aY+b). Le pas h est une petite durée positive. Ce calcul remplace localement la courbe par sa tangente ; il ne donne pas en général la valeur exacte de la solution.

Dans le refroidissement précédent, un premier pas d’une minute depuis 80 donne la pente −12, puis la valeur approchée 68. La solution exacte à une minute vaut 20+60exp(−0,2), environ 69,12. Cet écart n’est pas une erreur de calcul : il vient de l’approximation par une tangente. Pour juger un modèle numérique, on distingue l’erreur due au pas choisi et l’écart éventuel entre le modèle mathématique et le phénomène réel.