Intégrales et aires

Pour une fonction f continue et positive sur un segment [a ;b], avec a≤b, l’intégrale de a à b de f, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, est l’aire située entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b. Dans un repère orthonormé, l’unité d’aire correspond à un rectangle d’une unité sur chaque axe. La lettre x est une variable de calcul : la remplacer partout par t ne change pas le nombre obtenu.

Si f peut être négative, l’intégrale est définie à l’aide des primitives et devient une aire signée. Les régions au-dessus de l’axe contribuent positivement ; celles au-dessous contribuent négativement. Des compensations sont possibles. L’aire géométrique totale reste, elle, positive ou nulle : pour la calculer, on découpe aux changements de signe et on additionne les aires de chaque région. Une intégrale nulle ne signifie donc pas nécessairement une fonction nulle.

Si F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b, alors ∫ₐᵇ f(x) dx=F(b)−F(a), aussi noté [F(x)]ₐᵇ. La constante additive éventuelle disparaît dans cette différence. On a ∫ₐᵃ f=0 et ∫ᵦᵃ f=−∫ₐᵇ f. La définition par les primitives donne ainsi un sens à des bornes inversées, mais une interprétation directe comme aire positive suppose de conserver les bornes dans l’ordre croissant.

L’intégrale est linéaire : ∫ₐᵇ(αf+βg)=α∫ₐᵇ f+β∫ₐᵇ g pour des constantes réelles α et β. La relation de Chasles donne ∫ₐᶜ f=∫ₐᵇ f+∫ᵦᶜ f, dès que la fonction est continue sur un intervalle contenant les bornes. Ces propriétés permettent de décomposer un calcul ou de réunir des contributions. La relation de Chasles reste vraie même si b n’est pas situé entre a et c.

Pour a≤b, si f≥0 sur [a ;b], alors ∫ₐᵇ f≥0. Si f≤g, alors ∫ₐᵇ f≤∫ₐᵇ g. En particulier, si m≤f≤M, on obtient m(b−a)≤∫ₐᵇ f≤M(b−a). Ces encadrements contrôlent un résultat exact ou donnent une estimation sans primitive explicite. Le sens des inégalités dépend de l’ordre des bornes : il faut le vérifier avant d’intégrer une comparaison.

Le lien fondamental avec la dérivation apparaît en posant A(x)=∫ₐˣ f(t) dt. Pour f continue positive, A est la primitive de f qui s’annule en a. Voici l’idée de la démonstration lorsque f est aussi croissante. Pour h>0, les aires de rectangles donnent f(x)≤(A(x+h)−A(x))/h≤f(x+h). Pour h<0, les bornes s’échangent : f(x+h)≤(A(x+h)−A(x))/h≤f(x). Par continuité, les deux encadrements conduisent à A′(x)=f(x).

Cette propriété explique la formule de calcul avec une primitive quelconque F. Les fonctions A et F ont la même dérivée sur l’intervalle ; leur différence est constante. Comme A(a)=0, on obtient A(b)=F(b)−F(a). Le résultat s’étend aux fonctions continues de signe quelconque. Le théorème général assure ainsi que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Pour approcher une aire, on partage [a ;b] en n intervalles de même largeur h=(b−a)/n, puis on additionne des rectangles. Pour une fonction croissante, les rectangles construits avec les valeurs à gauche donnent une minoration ; ceux avec les valeurs à droite donnent une majoration. Pour f(x)=x² sur [0 ;1] et n=4, ces sommes valent 7/32 et 15/32. L’intégrale exacte 1/3 se trouve bien entre elles. Réduire la largeur des rectangles améliore l’approximation.

Lorsque l’intégrande contient un produit, il ne suffit pas de multiplier des primitives. Pour deux fonctions u et v dérivables sur [a ;b], dont les dérivées sont continues, la dérivée du produit donne (uv)′=u′v+uv′. En intégrant puis en isolant le second terme, on obtient ∫ₐᵇ u v′=[uv]ₐᵇ−∫ₐᵇ u′v. C’est l’intégration par parties. Le choix utile dérive un facteur qui se simplifie et prend une primitive de l’autre.

Les suites d’intégrales permettent de combiner ce calcul avec les raisonnements sur les suites. Posons Iₙ=∫₀¹ xⁿexp(x) dx pour un entier n≥0. Pour n≥1, une intégration par parties avec u=xⁿ et v=exp(x) donne Iₙ=e−nIₙ₋₁ ; de plus I₀=e−1. Par comparaison, 0≤Iₙ≤e∫₀¹xⁿ dx=e/(n+1). Le théorème des gendarmes montre donc que Iₙ tend vers 0. La relation de récurrence et l’encadrement apportent des informations complémentaires.

Pour deux fonctions f et g continues sur [a ;b], avec f≤g, l’aire entre leurs courbes est ∫ₐᵇ(g−f). On soustrait la fonction du bas à celle du haut. Si l’ordre change, on découpe aux intersections avant d’additionner les contributions positives. Le domaine exact et le signe de la différence comptent davantage que l’impression donnée par une fenêtre graphique.

En général, pour a<b, la valeur moyenne de f est μ=(1/(b−a))∫ₐᵇ f. On peut l’interpréter comme la hauteur d’un rectangle de même base et de même aire signée. Ce n’est pas, en général, (f(a)+f(b))/2. Dans un contexte de débit en litres par heure, l’intégrale sur un intervalle de temps en heures donne un volume en litres, tandis que la valeur moyenne reste un débit en litres par heure.