Orthogonalité et distances

La perspective peut masquer un angle droit. Pour décider d’une orthogonalité et calculer une distance, on utilise le produit scalaire. Pour deux vecteurs non nuls u et v, il vaut u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ), où θ est l’angle entre les vecteurs, compris entre zéro et π. Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut zéro ; on ne lui attribue pas pour autant un angle avec les autres vecteurs.

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : u · v = v · u ; (u + v) · w = u · w + v · w ; (λu) · v = λ(u · v). En particulier u · u = ||u||². Deux vecteurs sont orthogonaux exactement lorsque leur produit scalaire est nul. Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur, mais ne peut servir ni de vecteur directeur de droite ni de vecteur normal de plan.

Dans une base orthonormée, si u = (a ; b ; c) et v = (a′ ; b′ ; c′), alors u · v = aa′ + bb′ + cc′ et ||u|| = √(a² + b² + c²). Les vecteurs de base sont perpendiculaires et de norme un : les produits croisés disparaissent dans le développement. Sans cette hypothèse sur la base, ces formules coordonnées simples ne sont pas valables.

La bilinéarité donne ||u + v||² = ||u||² + 2u · v + ||v||² et ||u − v||² = ||u||² − 2u · v + ||v||². On en tire u · v = (||u + v||² − ||u||² − ||v||²)/2, ou encore u · v = (||u + v||² − ||u − v||²)/4. Ces identités, appelées formules de polarisation, relient les longueurs à un produit scalaire.

Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles peuvent être non coplanaires. Le mot perpendiculaires ajoute qu’elles se coupent. Pour qu’une droite soit orthogonale à un plan, son vecteur directeur doit être orthogonal à toutes les directions du plan. Il suffit de contrôler deux vecteurs non colinéaires de cette direction : l’orthogonalité s’étend à leurs combinaisons par bilinéarité.

Un vecteur normal à un plan est un vecteur non nul orthogonal à sa direction. Donnons-nous un point A(xA ; yA ; zA) et un vecteur normal n = (a ; b ; c) dans un repère orthonormé. Un point X(x ; y ; z) appartient au plan passant par A et normal à n exactement lorsque AX · n = 0. En coordonnées, cela donne a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0.

En développant, on obtient une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, où d = −axA − byA − czA et (a ; b ; c) n’est pas le vecteur nul. Réciproquement, toute équation de cette forme avec au moins un des trois premiers coefficients non nul définit un plan dont (a ; b ; c) est normal. Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul conserve ce plan.

Par exemple, le plan passant par A(1 ; 0 ; 2) et normal à (2 ; −1 ; 1) a pour équation 2(x − 1) − y + (z − 2) = 0, soit 2x − y + z − 4 = 0. Remplacer x, y et z par les coordonnées de A donne bien zéro. Ce contrôle rapide évite une erreur sur le terme constant, mais ne remplace pas la justification de l’orthogonalité.

Le projeté orthogonal H d’un point M sur un plan P est le point de P tel que MH soit orthogonal à P. Si M appartient déjà à P, on pose H = M et la distance vaut zéro. Sinon H s’obtient à l’intersection de P et de la droite passant par M, dirigée par un vecteur normal à P. Cette caractérisation associe donc appartenance et orthogonalité.

Prouvons ce caractère minimal pour tout point N du plan. Le vecteur HN est une direction du plan, donc il est orthogonal à MH. Par Pythagore, MN² = MH² + HN² ≥ MH², avec égalité seulement si N = H. Ainsi MH est la distance du point M au plan et H est l’unique point qui réalise ce minimum. La figure illustre un cas, tandis que ce raisonnement couvre tous les points N.

Plus généralement, si P a pour équation ax + by + cz + d = 0, la même démarche donne distance(M, P) = |axM + byM + czM + d|/√(a² + b² + c²). Cette formule est un raccourci issu de la projection, et non une règle à utiliser sans hypothèses. Elle exige un repère orthonormé et un vecteur normal non nul ; sa valeur ne dépend pas du multiple non nul choisi pour écrire l’équation.

Pour une droite d passant par A et de vecteur directeur non nul v, le projeté H d’un point M satisfait deux conditions : H appartient à d et MH · v = 0. On écrit H = A + tv, puis (AH − AM) · v = 0. Comme AH = tv, on obtient t = (AM · v)/||v||². Le dénominateur est strictement positif car v est non nul.

Le même argument de Pythagore prouve que H est le point de la droite le plus proche de M. La droite dirigée par MH et la droite d sont perpendiculaires si M est hors de d. Si M appartient à d, le projeté est M lui-même : le vecteur MH est nul et ne définit pas une nouvelle droite. Ce cas évite une construction impossible avec un vecteur directeur nul.

Les projections servent aussi aux problèmes d’aires et de volumes : une hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie. Pour un tétraèdre, le volume est le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur correspondante. Une arête oblique n’est pas une hauteur par son seul nom. On commence par identifier le plan de base, puis la distance du sommet à ce plan.