Limites de fonctions

Une limite décrit le comportement des valeurs f(x) lorsque x se rapproche d’un point ou devient arbitrairement grand en valeur absolue. Écrire que f(x) tend vers 3 quand x tend vers +∞ signifie que l’on peut rendre f(x) aussi proche de 3 que souhaité en prenant tous les x suffisamment grands. Il ne suffit pas de trouver quelques valeurs proches de 3. La propriété concerne toutes les valeurs au-delà d’un seuil adapté à la précision demandée.

Une limite finie n’est pas nécessairement atteinte. La fonction f(x)=3+1/x, définie pour x>0, reste strictement supérieure à 3 tout en s’en rapprochant. Inversement, une fonction peut atteindre sa limite et la traverser plusieurs fois. La limite concerne la proximité des valeurs, pas un sens de variation obligatoire. Dire que f(x) tend vers +∞ signifie que f(x) finit par dépasser n’importe quel seuil réel fixé. Le symbole +∞ n’est pas un nombre auquel on pourrait appliquer toutes les opérations ordinaires.

En un réel a, on étudie les x du domaine qui se rapprochent de a. La fonction peut ne pas être définie en a. Une limite à gauche utilise x<a, une limite à droite utilise x>a. Pour qu’une limite commune existe lorsque les deux côtés du domaine sont présents, les deux limites doivent coïncider. Pour 1/x en 0, elles sont respectivement −∞ et +∞. Il n’existe donc pas de limite commune, même si chacune des limites latérales existe.

Les limites usuelles constituent le point de départ. Quand x tend vers +∞, x et √x tendent vers +∞, tandis que 1/x tend vers 0. Une puissance entière positive de x tend vers +∞ en +∞. En −∞, une puissance paire tend vers +∞ et une puissance impaire vers −∞. L’exponentielle tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en −∞. En un point du domaine d’une fonction usuelle continue, la limite se trouve par substitution.

On combine ensuite ces résultats par les opérations sur les limites, admises dans ce cours. La somme de deux limites réelles est leur somme. Le produit de deux limites réelles est leur produit. Pour un quotient de limites finies, le quotient est permis lorsque la limite du dénominateur est non nulle. Si le dénominateur tend vers zéro et le numérateur vers un réel non nul, il faut étudier le signe du quotient. Le signe du dénominateur près du point est alors décisif.

Les écritures ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0 ne donnent aucun résultat à elles seules : ce sont des formes indéterminées. Par exemple, x−x est nul, mais x²−x tend vers +∞ en +∞. Dans les deux cas, une lecture superficielle montre une différence de termes tendant vers +∞. Il faut transformer l’expression exacte, par factorisation, simplification sur le domaine ou utilisation d’une quantité conjuguée. Une simplification ne remet pas automatiquement dans le domaine un point initialement interdit.

La quantité conjuguée est utile lorsqu’une racine cache une compensation. Ainsi, pour x>0, √(x²+x)−x = x/(√(x²+x)+x) = 1/(√(1+1/x)+1). Cette dernière expression tend vers 1/2 en +∞. La première écriture ne permettait pas de soustraire directement deux infinis. Le passage √(x²)=x repose ici sur x>0 ; en général, √(x²)=|x|.

Si f(x)≤g(x) près du point étudié et si f(x) tend vers +∞, alors g(x) tend aussi vers +∞. De même, une fonction majorée par une fonction tendant vers −∞ tend vers −∞. Pour obtenir une limite finie, le théorème des gendarmes utilise un encadrement : si u(x)≤f(x)≤v(x) et si u et v ont la même limite réelle ℓ, alors f tend vers ℓ. Le sens des inégalités et leur validité sur le domaine doivent être précisés.

Comme −1≤sin(x)≤1, pour x>0 on a −1/x≤sin(x)/x≤1/x. Les deux bornes tendent vers 0 en +∞, donc sin(x)/x tend vers 0. Le sinus seul n’a pourtant pas de limite en +∞. Une oscillation peut ainsi être amortie par un facteur qui devient petit. Un dessin suggère ce phénomène, mais l’encadrement apporte une preuve valable au-delà de la fenêtre visible.

Composer deux limites consiste à suivre les deux étapes d’un calcul. Si u(x) tend vers +∞ et si exp(t) tend vers +∞ lorsque t tend vers +∞, alors exp(u(x)) tend vers +∞. Pour exp(−x²), l’intérieur tend au contraire vers −∞ en chacun des deux infinis, donc l’expression tend vers 0. On ne remplace pas une variable intérieure sans avoir identifié la direction dans laquelle elle évolue.

L’exponentielle domine les puissances : pour tout entier naturel n, xⁿ/exp(x) tend vers 0 en +∞. Voici une justification pour n≥1. Pour t≥0, exp(t)≥t²/2 ; on l’obtient par dérivations successives de exp(t)−t²/2, dont la dérivée seconde est exp(t)−1≥0. Avec t=x/n, xⁿ/exp(x)=(x/exp(x/n))ⁿ≤(2n²/x)ⁿ pour x>0. La borne tend vers 0 ; le quotient positif aussi. Pour n=0, c’est simplement 1/exp(x) qui tend vers 0.

Une limite réelle ℓ en +∞ ou en −∞ correspond à une asymptote horizontale y=ℓ du côté concerné. Une limite infinie en un réel a correspond à une asymptote verticale x=a, même si un seul côté présente ce comportement. Les deux directions sont différentes : l’horizontale décrit des abscisses éloignées, la verticale décrit des abscisses proches d’un nombre fixé. Une courbe peut couper une asymptote horizontale ; l’idée d’une droite jamais touchée n’est pas une définition.