Logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ ; ses valeurs parcourent tous les réels strictement positifs. Pour tout réel x>0, il existe donc un unique réel y tel que exp(y)=x. Ce nombre y est appelé logarithme népérien de x et se note ln(x). La fonction ln transforme une valeur positive en l’exposant qui permet de l’obtenir par l’exponentielle. Elle est la fonction réciproque de l’exponentielle.

Les identités fondamentales sont exp(ln(x))=x pour x>0 et ln(exp(t))=t pour tout réel t. On en déduit ln(1)=0 et ln(e)=1. Dans les réels, ln(0) et le logarithme d’un nombre négatif ne sont pas définis. Une expression ln(u(x)) impose donc u(x)>0 avant tout calcul. Cette condition est stricte : un argument nul reste interdit, même si l’on peut ensuite étudier une limite au bord du domaine.

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[. Elle conserve l’ordre : pour a>0 et b>0, ln(a)<ln(b) équivaut à a<b. Le signe de ln(x) se lit en comparant x à 1. Il est négatif pour 0<x<1, nul en 1 et positif pour x>1. Un logarithme négatif est donc parfaitement possible ; c’est son argument, et non son résultat, qui doit être strictement positif.

Pour a>0 et b>0, on a ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln(a/b)=ln(a)−ln(b) et ln(1/a)=−ln(a). Pour un entier relatif n et a>0, ln(aⁿ)=n ln(a). La première identité se comprend à l’aide de l’exponentielle : si a=exp(u) et b=exp(v), alors ab=exp(u+v), donc son logarithme vaut u+v. Le logarithme transforme ainsi un produit en somme et un quotient en différence.

Ces propriétés ne s’appliquent pas à une somme : ln(a+b) n’est pas en général ln(a)+ln(b). Il faut également conserver les conditions de chaque écriture. ln(x²) est défini pour x non nul, mais 2ln(x) n’est défini que pour x>0. Sur les réels non nuls, la formule correcte est ln(x²)=2ln(|x|). Une transformation valable sur un domaine plus petit ne permet pas de supprimer arbitrairement des solutions admissibles dans l’expression de départ.

Pour résoudre ln(u(x))=c, on peut écrire u(x)=exp(c), tout en gardant le domaine de départ. Pour une inéquation ln(u(x))≤ln(v(x)), on impose u(x)>0 et v(x)>0, puis on compare u(x) et v(x), puisque ln est croissante. En revanche, si l’on divise ensuite une inégalité par un logarithme constant, il faut connaître son signe. Diviser par ln(1/2), qui est négatif, inverse le sens de l’inégalité.

La fonction ln est dérivable sur ]0 ;+∞[ ; sa dérivabilité étant admise, on calcule sa dérivée avec exp(ln(x))=x. En dérivant la composée, on obtient exp(ln(x))×ln′(x)=1. Comme exp(ln(x))=x, il vient ln′(x)=1/x. Cette dérivée est strictement positive sur le domaine, ce qui retrouve la croissance stricte. Pour une fonction u dérivable et strictement positive sur un intervalle, la composition donne (ln(u))′=u′/u.

Les limites de ln sont −∞ lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives, et +∞ lorsque x tend vers +∞. La droite x=0 est donc une asymptote verticale. La dérivée seconde vaut −1/x²<0 : la fonction est concave sur tout son domaine. Sa courbe monte, mais ses pentes diminuent. La divergence vers +∞ n’implique pas une croissance rapide ; une fonction peut dépasser tout seuil tout en ayant une dérivée qui tend vers zéro.

Pour tout entier n≥1, ln(x)/xⁿ tend vers 0 en +∞ : les puissances positives dominent le logarithme. En posant t=ln(x), x tend vers +∞ équivaut à t tendant vers +∞ et ln(x)/xⁿ=t/exp(nt). Le résultat vient alors de la croissance comparée de l’exponentielle et des puissances. À l’autre bord du domaine, xⁿln(x) tend vers 0 en 0⁺. Le produit a un signe négatif près de 0, mais sa valeur se rapproche bien de zéro.

Pour démontrer le cas x ln(x) en 0⁺, posons t=1/x. Alors t tend vers +∞ et x ln(x)=−ln(t)/t. Le quotient ln(t)/t tend vers 0, donc le produit initial tend vers 0. Cette substitution explique pourquoi le symbole 0×(−∞) ne permet pas de conclure directement. Pour la fonction de l’exemple précédent, on en déduit une limite nulle en 0⁺ ; cela n’attribue pas automatiquement une valeur en 0.

Le logarithme permet d’isoler une variable placée dans un exposant. Dans un modèle exponentiel, le temps nécessaire pour atteindre un seuil se calcule souvent ainsi. Les unités doivent rester cohérentes : si le coefficient de l’exponentielle est exprimé par heure, la variable de temps se mesure en heures. On prend le logarithme d’un rapport de grandeurs de même unité, ce qui donne un nombre sans unité. Le résultat exact peut rester sous forme logarithmique avant d’être approché.