Fonctions sinus et cosinus

Sur le cercle trigonométrique de rayon 1, un point repéré par l’angle orienté x a pour coordonnées (cos(x) ;sin(x)). Les angles sont mesurés en radians dans les formules de dérivation. Un tour complet vaut 2π radians, un demi-tour vaut π et un quart de tour vaut π/2. Le cosinus donne l’abscisse et le sinus l’ordonnée. Cette lecture relie les valeurs des fonctions à des positions géométriques.

Pour tout réel x, les valeurs de sin(x) et cos(x) sont comprises entre −1 et 1 et vérifient cos²(x)+sin²(x)=1. La symétrie par rapport à l’axe horizontal donne cos(−x)=cos(x) et sin(−x)=−sin(x). Le cosinus est donc pair et le sinus impair. Ajouter 2π à un angle ramène au même point : sin(x+2π)=sin(x) et cos(x+2π)=cos(x). Les deux fonctions sont périodiques de période 2π.

Les valeurs usuelles permettent de fixer les repères. En 0, le cosinus vaut 1 et le sinus 0. En π/2, ils valent respectivement 0 et 1 ; en π, −1 et 0. En π/4, les deux valent √2/2. En π/3, le cosinus vaut 1/2 et le sinus √3/2. Les symétries et les signes des coordonnées permettent de retrouver les autres angles, sans mémoriser chaque cas isolément.

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ. Leurs dérivées sont sin′(x)=cos(x) et cos′(x)=−sin(x). Le signe moins appartient à la dérivée du cosinus. Ces formules supposent une variable exprimée en radians. Une calculatrice réglée en degrés peut fournir des valeurs numériques incompatibles avec un calcul où la variable est prise en radians ; le réglage doit être vérifié avant d’interpréter un graphique ou une solution.

Sur [0 ;π], le sinus est positif ou nul, donc la dérivée du cosinus est négative ou nulle : cos est strictement décroissante sur cet intervalle. Sur [−π ;0], le sinus est négatif ou nul, donc cos est strictement croissante. Pour le sinus, on utilise le signe du cosinus : sin croît sur [−π/2 ;π/2] et décroît sur [π/2 ;3π/2]. La périodicité permet de transporter ces variations sur les intervalles obtenus par ajout d’un multiple de 2π.

La règle de composition reste indispensable. Pour une fonction u dérivable, (sin(u))′=u′cos(u) et (cos(u))′=−u′sin(u). Ainsi, la dérivée de sin(3x) est 3cos(3x), et celle de cos(x²) est −2x sin(x²). La présence d’un coefficient à l’intérieur modifie aussi la période : pour ω non nul, une période de sin(ωx) ou cos(ωx) est 2π/|ω|. Une variation plus rapide de l’angle produit des oscillations plus rapprochées.

Pour résoudre cos(x)=a, on commence par vérifier que a appartient à [−1 ;1]. Sinon, il n’existe aucune solution réelle. Lorsque −1<a<1, il existe un unique α de ]0 ;π[ tel que cos(α)=a, puisque le cosinus est continu et strictement décroissant sur [0 ;π]. Les solutions réelles sont alors x=α+2kπ ou x=−α+2kπ, avec k entier relatif. La symétrie et la périodicité expliquent ces deux familles.

Une question limitée à [−π ;π] demande uniquement les solutions appartenant à cet intervalle. Pour a=1, la seule solution dans cet intervalle est 0. Pour a=−1, les deux extrémités −π et π conviennent. Elles correspondent au même point du cercle, mais restent deux nombres distincts de l’intervalle fermé. Pour une valeur usuelle comme 1/2, on identifie α=π/3 ; pour une autre valeur, une approximation de α peut être calculée après avoir expliqué son existence et son unicité dans [0 ;π].

Pour une inéquation, on lit un ensemble d’angles, pas une simple liste de points. Sur [0 ;π], la décroissance de cos permet d’inverser correctement l’ordre des arguments. Par exemple, cos(x)≤1/2 équivaut à x≥π/3 sur cet intervalle. En utilisant la parité, sur [−π ;π] on obtient [−π ;−π/3]∪[π/3 ;π]. Les bornes de contact sont incluses lorsque le signe de comparaison est large ; elles sont exclues pour une comparaison stricte.

Une situation géométrique peut fournir une fonction trigonométrique à optimiser. Sur le cercle de rayon 1, choisissons un sommet A=(cos(t) ;sin(t)) dans le premier quadrant. Les trois autres sommets obtenus par symétrie par rapport aux axes forment un rectangle. Pour 0<t<π/2, sa largeur vaut 2cos(t), sa hauteur 2sin(t), et son aire vaut 4sin(t)cos(t). Les cas limites t=0 et t=π/2 correspondent à une figure aplatie d’aire nulle.

Dans un modèle périodique h(t)=a+bcos(ωt) avec b>0 et ω>0, la valeur centrale est a, le maximum a+b et le minimum a−b. La période vaut 2π/ω. Ces paramètres se déterminent à partir d’observations différentes : les valeurs extrêmes renseignent sur a et b, tandis que la durée d’un cycle renseigne sur ω. Une formule n’est utile que si les unités et le point de départ de l’oscillation correspondent à la situation.