Continuité et valeurs intermédiaires

Une fonction f définie en a est continue en a lorsque sa limite en a vaut f(a). Cette égalité relie ce qui se passe tout près du point à la valeur effectivement prise au point. On dit qu’elle est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en chaque point de cet intervalle ; aux extrémités, on considère les limites prises depuis l’intervalle. L’image intuitive est un tracé sans saut, mais la définition mathématique repose sur les limites.

Les fonctions polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur ℝ. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s’annule pas ; √x est continue sur [0 ;+∞[. Les opérations et compositions usuelles conservent la continuité sur leur domaine. Dans une résolution d’équation, on indique brièvement la nature de la fonction et l’intervalle utilisé. Il n’est pas nécessaire de reconstruire à chaque exercice toute la théorie de la continuité.

Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. La fonction |x| est continue en 0 et n’y est pas dérivable : ses pentes à gauche et à droite diffèrent. Une pointe n’est donc pas une rupture. Autre distinction essentielle : une fraction simplifiée peut avoir une limite en un point interdit sans y être continue, puisque la fonction initiale n’y est pas définie.

Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que, si f est continue sur [a ;b], chaque nombre k compris entre f(a) et f(b) est l’image d’au moins un nombre c de [a ;b]. Les bornes sont incluses. Si k est strictement entre les images des extrémités, au moins une solution est dans ]a ;b[. Pour rechercher un zéro, le changement de signe entre les deux extrémités est une façon commode de vérifier la condition sur k.

Le théorème ne donne pas automatiquement l’unicité. Pour une fonction continue et strictement monotone sur [a ;b], chaque valeur entre les images des extrémités possède exactement un antécédent dans cet intervalle. On sépare donc deux arguments : la continuité et les images assurent l’existence ; la stricte monotonie assure qu’il ne peut pas y avoir deux solutions. Une dérivée strictement positive est une justification suffisante de croissance stricte, mais il existe aussi des fonctions strictement croissantes dont la dérivée s’annule en certains points.

La condition sur les extrémités est suffisante, mais elle n’est pas nécessaire à l’existence d’une solution. Si k n’est pas entre f(a) et f(b), on ne peut pas conclure à une absence de solution. Il faut étudier les variations ou découper l’intervalle. Pour x² sur [−2 ;2], les deux images des extrémités valent 4, alors que la valeur 1 est atteinte deux fois. Une fonction qui descend puis remonte peut atteindre des valeurs absentes de l’intervalle formé par ses seules images extrêmes.

La dichotomie consiste à couper en deux un intervalle contenant une solution. On suppose f continue, et l’on part de bornes dont les images ont des signes opposés. On calcule le milieu m=(a+b)/2. Si f(m)=0, la solution est trouvée exactement. Sinon, on conserve la moitié dont les images aux extrémités ont encore des signes opposés. La continuité garantit que cette moitié contient toujours un zéro. Pour approcher une solution nommée unique, on justifie son unicité avant le calcul.

Après n divisions, la largeur de l’intervalle initial est divisée par 2ⁿ. Le milieu de l’intervalle final approche la solution avec une erreur au plus égale à la moitié de cette largeur. Une valeur arrondie ne devient pas une solution exacte : elle peut avoir une image petite mais non nulle. Un encadrement donne au contraire deux bornes certifiées. On choisit le nombre de divisions d’après la précision réellement demandée et l’on conserve suffisamment de chiffres dans les calculs intermédiaires.

La méthode de Newton est une autre piste numérique : depuis une valeur x, on considère x−f(x)/f′(x), si f′(x) n’est pas nul. Ce nombre est l’abscisse où la tangente rencontre l’axe horizontal. Cette méthode peut converger rapidement, mais elle ne conserve pas systématiquement un encadrement et elle peut échouer. Une sortie numérique, qu’elle provienne d’une calculatrice ou d’un programme, ne remplace donc jamais la justification de l’existence et de l’unicité.

La continuité relie aussi les fonctions aux suites. Si une suite (uₙ) converge vers ℓ et si f est continue en ℓ, alors f(uₙ) converge vers f(ℓ). Pour une suite définie par uₙ₊₁=f(uₙ), si sa convergence a été prouvée et si f est continue à la limite, on obtient ℓ=f(ℓ). Cette équation fournit des limites possibles. Elle ne prouve pas à elle seule que la suite converge, ni que toutes ses solutions conviennent.