Convexité

Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque, pour deux points quelconques de sa courbe d’abscisses dans I, la portion de courbe située entre ces points reste au-dessous de la corde qui les joint. Une corde est ici le segment reliant deux points de la courbe. L’affirmation doit être vraie pour toutes les paires de points de l’intervalle, pas seulement pour un segment particulièrement bien choisi sur un dessin.

Une formulation équivalente utilise une moyenne pondérée. Pour a et b dans I et λ dans [0 ;1], la convexité signifie f((1−λ)a+λb)≤(1−λ)f(a)+λf(b). L’abscisse de gauche est située entre a et b ; le membre de droite est la hauteur de la corde à cette abscisse. Au milieu, λ=1/2 : l’image du milieu est au plus égale à la moyenne des deux images. Cette propriété fournit des inégalités à partir d’informations sur les extrémités.

Une fonction est concave si l’inégalité s’inverse : la courbe se trouve au-dessus de ses cordes. Une fonction affine est à la fois convexe et concave, puisque sa courbe et toutes ses cordes sont sur la même droite. La convexité ne détermine pas le signe de f et ne signifie pas que f est croissante. La fonction carré est convexe sur ℝ, alors qu’elle décroît sur ]−∞ ;0] et croît sur [0 ;+∞[.

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, la convexité équivaut à la croissance de f′. Cela signifie que les pentes des tangentes augmentent lorsque l’abscisse augmente. Elles peuvent rester négatives : une fonction décroissante peut être convexe si ses pentes deviennent moins négatives. La concavité équivaut à la décroissance de f′. Ces relations donnent une lecture géométrique des dérivées et permettent de passer d’un tableau de variations de f′ à l’allure de f.

Si f est deux fois dérivable sur I, on admet l’équivalence entre sa convexité et f″≥0 sur I. Sa concavité équivaut à f″≤0. Le mot positif inclut ici zéro : une dérivée seconde nulle en un point ne détruit pas la convexité. On étudie donc le signe de f″ sur des intervalles et non sa seule valeur à un endroit isolé. Une dérivée seconde strictement positive donne en particulier une fonction strictement convexe.

La même fonction peut changer de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, si f″ change de signe de part et d’autre de a, alors le point A(a ;f(a)) est un point d’inflexion. La condition f″(a)=0 est une piste lorsque f″ est continue, mais elle n’est pas suffisante. Pour x⁴, la dérivée seconde vaut 12x² : elle s’annule en 0, tout en restant positive des deux côtés. La fonction reste convexe ; il n’y a pas d’inflexion en 0.

Une fonction convexe et dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle de convexité. Au point d’abscisse a, l’équation de la tangente est y=f(a)+f′(a)(x−a). On en déduit f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a) pour tout x de cet intervalle. Pour une fonction concave, l’inégalité est inversée. Une seule tangente donne une comparaison valable sur tout l’intervalle où les hypothèses sont réunies.

On peut démontrer cette position relative lorsque f″≥0. Fixons a et posons h(x)=f(x)−f(a)−f′(a)(x−a). Comme f′ est croissante, h′(x)=f′(x)−f′(a) est négative ou nulle avant a et positive ou nulle après a. La fonction h décroît jusqu’à a puis croît. Son minimum vaut h(a)=0. Donc h(x)≥0, ce qui montre que la courbe reste au-dessus de sa tangente. Le raisonnement traite les deux côtés du point de contact.

Pour choisir le bon point de tangence, lis l’expression que tu veux comparer à f(x). Une droite dont la constante et la pente ressemblent à f(a) et f′(a) suggère le point a. Il faut ensuite vérifier ces valeurs, et non adapter la tangente au résultat souhaité. Pour comparer une fonction à une corde, on utilise au contraire deux points connus. Les deux méthodes n’ont pas le même rôle : la tangente fournit une borne inférieure pour une fonction convexe, tandis que la corde fournit une borne supérieure entre ses extrémités.

Dans un modèle de coût, la fonction C donne le coût total en fonction d’une quantité q. La dérivée C′ est appelée coût marginal dans un modèle continu : elle estime la variation du coût pour une petite variation de quantité. La dérivée seconde indique si ce coût marginal augmente ou diminue. Une convexité du coût total correspond à un coût marginal croissant. Cela ne permet pas de conclure sur le signe du coût total ou sur l’existence d’un bénéfice.