Compléments de dérivation

Composer deux fonctions, c’est faire deux calculs successifs. Dans f=v∘u, on calcule d’abord u(x), puis on applique v au résultat : f(x)=v(u(x)). La fonction u est la fonction intérieure et v la fonction extérieure. L’ordre compte. Si u(x)=x² et v(t)=t+1, alors v(u(x))=x²+1, tandis que u(v(x))=(x+1)². Ces deux expressions ne sont pas identiques, même si elles utilisent les mêmes opérations élémentaires.

Le domaine doit être vérifié dans le même ordre. Pour √(x−2), il faut que x−2≥0, donc x≥2. Pour 1/(x²+1), le dénominateur est strictement positif pour tout réel x. Pour √(x²+1), l’expression intérieure est toujours strictement positive : la racine est donc définie et dérivable sur tout ℝ. Un domaine de définition et un domaine de dérivabilité peuvent différer, comme pour √x, définie en 0 mais non dérivable en 0.

La formule de composition s’utilise lorsque u est dérivable au point étudié et lorsque v est dérivable en l’image de ce point. On a alors f′(x)=v′(u(x))×u′(x). Il faut donc dériver l’extérieur, évaluer cette dérivée en u(x), puis multiplier par la dérivée de l’intérieur. Le facteur u′(x) traduit l’effet de la première transformation sur la variation finale. Oublier ce facteur revient à traiter l’intérieur comme une simple variable qui varierait à la même vitesse que x.

Pour un entier n≥1, la dérivée de uⁿ est n×u′×uⁿ⁻¹. Pour une puissance entière négative, on utilise la même formule là où u ne s’annule pas. En particulier, la dérivée de 1/u est −u′/u². Si u est strictement positive, la dérivée de √u est u′/(2√u). Enfin, la dérivée de exp(u) est u′exp(u). Dans chacune de ces formules, la dérivabilité de u et les conditions portant sur ses valeurs restent nécessaires.

La composition ne remplace pas les règles de somme, de produit et de quotient : elle les complète. Pour x×exp(x²), on dérive d’abord le produit des deux facteurs ; à l’intérieur du second facteur, on applique ensuite la composition. On trouve exp(x²)+2x²exp(x²), soit (1+2x²)exp(x²). Le choix d’une forme factorisée est utile car l’exponentielle est toujours strictement positive. Une longue expression développée peut cacher un signe pourtant simple.

Il est utile de contrôler une dérivée par plusieurs regards. Les dimensions ou les unités permettent parfois d’écarter une formule incohérente. Une valeur particulière peut révéler un oubli : si une fonction paire dérivable est étudiée autour de 0, sa dérivée en 0 est nulle. La calculatrice permet également une comparaison locale entre une pente approchée et la formule obtenue. Ces contrôles détectent des erreurs ; ils ne remplacent pas le calcul exact de la dérivée sur le domaine.

Si f′ est dérivable sur un intervalle, sa dérivée est notée f″. Le signe de f′ renseigne sur la croissance ou la décroissance de f. Le signe de f″ renseigne sur la croissance ou la décroissance de f′. Une fonction peut donc diminuer tout en ayant une dérivée qui augmente. Par exemple, 1/x est décroissante sur ]0 ;+∞[, car sa dérivée −1/x² est négative ; cette dérivée est pourtant croissante, car sa propre dérivée 2/x³ est positive.

Cette distinction permet de décrire une évolution plus finement. Si une grandeur augmente et que sa dérivée diminue, elle augmente de moins en moins vite. Elle ne devient pas nécessairement décroissante. Sur un graphique, la courbe continue à monter, mais ses tangentes deviennent moins pentues. Dans un modèle de mouvement, si la position dépend du temps, sa dérivée représente la vitesse et sa dérivée seconde l’accélération. Une accélération négative n’impose pas une vitesse négative : elle décrit la manière dont la vitesse change.

Pour f(x)=x², on a f′(x)=2x et f″(x)=2. La dérivée f′ est croissante sur ℝ. Pourtant, f décroît avant 0 et croît après 0, puisque f′ change de signe en 0. Ce cas simple sépare nettement les trois niveaux de lecture. Avant d’utiliser une courbe donnée dans un exercice, vérifie donc si elle représente f, f′ ou f″. Une ordonnée nulle de f′ peut signaler une tangente horizontale de f, sans être un zéro de f.

Pour établir des variations, commence par déterminer le domaine, puis calcule la dérivée sur les intervalles où elle existe. Factorise si cela rend les signes lisibles. Sépare les facteurs toujours positifs des facteurs pouvant s’annuler. Place ensuite les valeurs critiques dans l’ordre et étudie le signe sur chaque intervalle. Une égalité f′(a)=0 ne donne pas à elle seule un extremum : il faut étudier les signes de part et d’autre ou les variations réellement obtenues.

Une rédaction courte peut rester complète. Il suffit de rendre visibles les trois décisions qui comptent : où le calcul est autorisé, quelle règle donne la dérivée, et ce que son signe permet de conclure. Un résultat obtenu avec un outil de calcul est plus facile à vérifier lorsqu’il est présenté sous une forme factorisée. Si deux expressions semblent différentes, une mise au même dénominateur ou une factorisation peut montrer qu’elles représentent la même fonction sur le domaine commun.