Vecteurs et géométrie dans l’espace

Un vecteur de l’espace représente un déplacement : une direction, un sens et une longueur lorsqu’il est non nul. Deux flèches situées à des endroits différents peuvent représenter le même vecteur. L’égalité des vecteurs AB et DC signifie que la translation envoyant A sur B envoie aussi D sur C. Dans tout ce chapitre, AB désigne le vecteur allant de A vers B lorsque le contexte est un calcul vectoriel ; une longueur sera indiquée explicitement comme telle.

Le vecteur nul correspond à un déplacement nul. Il n’a pas de direction particulière. Pour tous points A, B et C, la relation de Chasles donne AB + BC = AC. Le vecteur BA est l’opposé de AB. Additionner des vecteurs consiste à enchaîner des déplacements ; multiplier un vecteur par un réel modifie sa longueur et éventuellement son sens. Un facteur négatif renverse le sens, un facteur nul donne le vecteur nul.

Dans ce cube, AB = DC = EF = HG et AE = BF = CG = DH comme vecteurs. En suivant le chemin A, B, C, G, la relation de Chasles donne AG = AB + BC + CG = AB + AD + AE. Cette identité ne dépend ni de l’orientation du dessin sur la page ni de la taille apparente des arêtes. Une perspective ne conserve généralement pas les angles et les longueurs.

Une combinaison linéaire de vecteurs u, v et w est un vecteur de la forme αu + βv + γw, où α, β et γ sont des réels. Les coefficients peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Ce langage donne une expression compacte pour des déplacements obtenus par additions et multiplications. Il reste lié à une construction géométrique : transporter chaque vecteur puis les placer bout à bout.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils appartiennent à une même direction vectorielle. Si u est non nul, cela signifie que v = λu pour un réel λ. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur : il s’obtient en multipliant celui-ci par zéro. Pour des points A et B distincts, les points A, B et M sont alignés exactement lorsque AM est un multiple de AB.

Deux vecteurs non colinéaires engendrent une direction de plan : tous les vecteurs αu + βv. Dire qu’un troisième vecteur w est coplanaire avec eux revient à dire qu’il appartient à cet ensemble. La coplanarité concerne les directions et non la position des flèches choisies pour les dessiner. Trois flèches placées sur trois arêtes différentes peuvent donc représenter des vecteurs coplanaires, après translation.

Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires. Tout vecteur possède alors une décomposition unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. La condition est essentielle : trois vecteurs seulement différents ne suffisent pas. Si l’un d’eux est une combinaison des deux autres, les trois déplacements restent dans une direction de plan et ne peuvent pas décrire tous les vecteurs de l’espace.

L’unicité signifie que deux écritures αu + βv + γw et α′u + β′v + γ′w du même vecteur ont les mêmes coefficients. En soustrayant, on obtient une combinaison égale au vecteur nul. Dans une base, cela impose que les trois différences de coefficients soient nulles. Réciproquement, une relation non triviale entre les trois vecteurs empêche l’unicité et révèle leur dépendance.

Pour tester une base dans un repère déjà donné, on peut chercher les solutions de αu + βv + γw = 0. Si la seule solution est α = β = γ = 0, les trois vecteurs forment une base. Ce travail se fait par des systèmes simples dans le contexte géométrique ; aucune méthode générale de calcul de déterminants n’est nécessaire ici. Une famille contenant le vecteur nul ne peut pas être une base.

Dans le cube, le triplet (AB, AD, AE) est une base. En revanche, (AB, AD, AC) n’en est pas une puisque AC = AB + AD. Les trois premiers vecteurs permettent un déplacement selon les deux directions de la face ABCD puis hors de cette face. Les trois autres restent tous parallèles au plan ABCD.

Un repère de l’espace associe une origine O et une base (i, j, k). Le point M a pour coordonnées (x ; y ; z) lorsque OM = xi + yj + zk. La base permet la décomposition, l’origine transforme cette décomposition en une adresse de point. Un vecteur possède des coordonnées dans une base, tandis qu’un point possède des coordonnées dans un repère : ce ne sont pas les mêmes objets.

Si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB), le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA). On soustrait toujours l’origine du déplacement à son extrémité. La relation découle de AB = OB − OA. Pour additionner des vecteurs, on additionne leurs coordonnées ; pour multiplier un vecteur par un réel, on multiplie chacune de ses coordonnées par ce réel.

Le milieu I de [AB] possède les coordonnées ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ; (zA + zB)/2), car OI = (OA + OB)/2. Ces formules restent vraies dans tout repère, même si ses axes ne sont pas perpendiculaires. En revanche, calculer une longueur par la somme des carrés des coordonnées exige une base orthonormée ; on ne l’utilise pas dans un repère quelconque.

Pour décider si un point M appartient au plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v, on cherche AM = αu + βv. On retrouve ainsi le lien entre géométrie, combinaison linéaire et système. Un plan est un ensemble de points, sa direction est un ensemble de vecteurs : écrire seulement une relation entre directions ne situe pas encore le plan.