Droites et plans de l’espace

Dans l’espace, une droite se détermine par un point A et un vecteur directeur u non nul. Ses points M vérifient AM = tu pour un réel t. Le point fixe l’emplacement ; le vecteur fixe la direction. Multiplier u par un réel non nul ne change pas la droite. Choisir un autre point de cette même droite comme point de départ donne aussi une description équivalente.

Un plan se détermine par un point A et deux vecteurs directeurs u et v non colinéaires. Ses points M vérifient AM = su + tv pour deux réels s et t. Deux directions sont nécessaires pour parcourir une surface plane ; deux vecteurs colinéaires ne donnent qu’une direction de droite. Le plan passant par trois points A, B et C est donc défini sans ambiguïté si ces points ne sont pas alignés.

La direction d’un plan rassemble tous ses vecteurs de déplacement. Deux plans peuvent partager cette direction tout en étant distincts. Inversement, deux plans différents peuvent avoir un point en commun et se couper selon une droite. On sépare toujours le problème des directions, qui porte sur des vecteurs, et celui des points communs, qui porte sur des positions.

Pour tester l’appartenance à une droite, il faut un même réel t pour les trois coordonnées. Pour un plan décrit par deux directions, il faut un même couple (s ; t). Vérifier chaque coordonnée avec un paramètre différent ne prouve rien. Cette contrainte sera le fil conducteur des systèmes qui suivent.

Dans un repère orthonormé (O ; i, j, k), la droite passant par A(xA ; yA ; zA) et dirigée par u(a ; b ; c) s’écrit x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct, avec t réel et (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0). Les trois égalités forment un système. Le paramètre t n’est pas une quatrième coordonnée du point : il sert à parcourir les points de la droite.

Une coordonnée constante ne rend pas une représentation invalide. La droite x = 2, y = 1 + t, z = −3 a pour vecteur directeur (0 ; 1 ; 0). Elle est parallèle à l’axe des ordonnées. En revanche, si les trois coefficients de t sont nuls, l’écriture décrit un seul point et non une droite. Un vecteur directeur n’a donc pas besoin de trois coordonnées non nulles.

Si deux vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles. Elles sont confondues si un point de l’une appartient à l’autre ; sinon elles sont strictement parallèles. Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites peuvent être sécantes ou non coplanaires. Dans l’espace, être non parallèles ne suffit donc pas pour avoir un point commun.

Pour chercher une intersection, on attribue un paramètre indépendant à chaque droite. On égalise ensuite les trois coordonnées. Une unique solution fournit un point commun. Si les directions ne sont pas colinéaires et que le système est incompatible, les droites sont non coplanaires. La rencontre apparente de deux traits sur un dessin en perspective peut correspondre à deux points différents de l’espace.

Une droite et un plan ont trois positions possibles : la droite est incluse dans le plan ; ils sont sécants en un point unique ; ou ils n’ont aucun point commun et sont strictement parallèles. Certains énoncés utilisent « parallèle au plan » au sens large, en incluant l’inclusion. Pour éviter toute ambiguïté, précise toujours le nombre de points communs ou indique explicitement « strictement parallèle » lorsque l’intersection est vide.

Le critère vectoriel guide la recherche. Si le vecteur directeur de la droite appartient à la direction du plan, la droite est parallèle au plan au sens large : un point de la droite dans le plan implique l’inclusion, sinon l’intersection est vide. Si ce vecteur n’appartient pas à la direction du plan, la droite coupe celui-ci en un unique point.

Si l’on étudie plutôt une droite dont la troisième coordonnée est constante, le même test donne les deux autres cas. La droite (t ; 1 ; 0) est incluse dans P ; la droite (t ; 1 ; 2) n’a aucun point dans P et lui est strictement parallèle. Le calcul ne demande pas une formule nouvelle : il suffit d’interpréter une égalité toujours vraie ou toujours fausse.

Deux plans sont confondus, strictement parallèles ou sécants suivant une droite. Ils ne peuvent pas avoir exactement un seul point commun. Si leurs directions sont les mêmes, tester un point permet de distinguer égalité et parallélisme strict. Si leurs directions sont différentes, leurs points communs forment une droite. Deux plans passant par une même droite peuvent ainsi être distincts : une droite seule ne détermine pas un unique plan.

Par exemple, les plans z = 0 et z = 2 sont strictement parallèles. Les plans z = 0 et y = 0 sont sécants suivant la droite des points (t ; 0 ; 0). Il faut garder un paramètre libre : ce résultat donne toute une droite de points communs, pas seulement l’origine. Le chapitre suivant expliquera comment un vecteur normal et une équation cartésienne générale permettent de systématiser ces calculs.