Suites et modèles discrets

Un modèle discret décrit une grandeur à des instants séparés : chaque jour, chaque semaine ou après chaque opération. On note uₙ la valeur au rang n, avec n entier naturel. Définir le rang zéro et l’unité évite les ambiguïtés. Un stock de deux cents unités au début d’une semaine et un stock mesuré après le renouvellement ne décrivent pas le même instant. La relation entre deux termes doit suivre l’ordre réel des opérations.

Une augmentation constante de b unités donne uₙ₊₁ = uₙ + b : la suite est arithmétique. Une multiplication constante par a donne uₙ₊₁ = auₙ : la suite est géométrique. Une baisse de 20 % conserve 80 % de la quantité, donc correspond au facteur 0,8. Lorsque cette baisse est suivie d’un apport fixe b, on obtient une relation affine uₙ₊₁ = auₙ + b. Le terme b a la même unité que le stock ; a est un coefficient sans unité.

Toutes les données numériques de ce chapitre décrivent des situations fictives. Considérons un entrepôt qui conserve chaque semaine 80 % de son stock puis reçoit cent unités. Si uₙ désigne le stock juste après la livraison numéro n et u₀ = 200, alors uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 100. Le modèle autorise des valeurs décimales : il décrit une quantité idéalisée, ou une moyenne, sans imposer un arrondi intermédiaire.

Pour la relation uₙ₊₁ = auₙ + b, un équilibre est une valeur L qui reste identique après une étape : L = aL + b. Lorsque a ≠ 1, cette équation possède une unique solution L = b/(1 − a). Le mot équilibre ne signifie ni que la suite l’atteint, ni qu’elle s’en rapproche. Il désigne d’abord un état qui, une fois installé, ne change plus selon la règle choisie.

Le changement de suite vₙ = uₙ − L fait apparaître une suite géométrique. En effet, vₙ₊₁ = auₙ + b − L = a(uₙ − L), puisque b − L = −aL. Ainsi vₙ₊₁ = avₙ, v₀ = u₀ − L et vₙ = (u₀ − L)aⁿ. On en déduit uₙ = L + (u₀ − L)aⁿ. Cette formule se démontre pour tous les rangs ; elle n’est pas une simple extrapolation des premières valeurs.

On peut aussi prouver directement que l’intervalle [200 ; 500] est stable. Si 200 ≤ uₙ ≤ 500, alors 260 ≤ 0,8uₙ + 100 ≤ 500, donc le terme suivant reste dans l’intervalle. L’initialisation et cette implication établissent l’encadrement par récurrence. Le théorème de convergence monotone fournit alors une autre preuve d’existence de la limite, une fois la croissance justifiée.

La formule explicite permet de comparer plusieurs régimes. Si −1 < a < 1, alors aⁿ tend vers zéro et toute suite de ce modèle converge vers L. Si 0 < a < 1, le signe de u₀ − L est conservé : la suite approche l’équilibre en restant du même côté. Elle croît si u₀ < L et décroît si u₀ > L. Si u₀ = L, elle est constante. Pour a = 0, elle atteint L = b dès le rang un.

Lorsque −1 < a < 0 et que l’écart initial est non nul, cet écart change de signe à chaque étape et son amplitude diminue : une convergence peut donc avoir lieu sans monotonie. La figure montre seulement l’amplitude de cet écart, pour la suite sₙ = 200 − 300(−0,5)ⁿ. Ses termes alternent autour de deux cents ; les points tracés donnent |sₙ − 200|. Cette suite sert à étudier un mécanisme mathématique, pas à représenter un stock qui devrait rester positif.

Si a > 1, un écart initial non nul s’amplifie. Selon son signe, uₙ tend vers +∞ ou −∞. Si a < −1, l’écart grandit en valeur absolue en alternant de signe, sauf pour la suite constante d’équilibre. Pour a = −1, un écart initial non nul produit une alternance de deux valeurs. Le cas a = 1 se traite séparément : uₙ = u₀ + nb. Il n’existe pas d’équilibre si b ≠ 0 ; si b = 0, toute valeur initiale donne une suite constante.

Un seuil peut traduire une question concrète : à quelle semaine le stock dépasse-t-il 450 unités pour la première fois ? Comme uₙ = 500 − 300 × 0,8ⁿ, l’inégalité uₙ > 450 équivaut à 0,8ⁿ < 1/6. On peut comparer les puissances successives sans utiliser le logarithme. La croissance déjà prouvée garantit que, dès le premier dépassement, les stocks suivants dépassent encore ce seuil.

En pseudo-code, la procédure s’écrit : n ← 0 ; u ← 200 ; tant que u ≤ 450, faire u ← 0,8u + 100 puis n ← n + 1 ; renvoyer n. Le programme peut garder une liste des couples (n, u) pour contrôler le décalage des indices. Un arrêt au bout d’un nombre arbitraire d’étapes serait une sécurité informatique, sans prouver que le seuil est mathématiquement atteint.

Le modèle suppose des coefficients constants et une règle applicable chaque semaine. Si les livraisons changent, si la capacité de l’entrepôt impose un plafond ou si les pertes dépendent du stock, la relation doit être adaptée. Confronter des prévisions à des observations consiste à comparer les valeurs aux mêmes instants et dans les mêmes unités. Un écart isolé n’explique pas sa cause ; une série d’écarts systématiques invite à revoir les hypothèses.

Une quantité discrète d’objets ne peut pas toujours suivre exactement une suite réelle. Arrondir à chaque étape crée une nouvelle règle, dont la limite éventuelle mérite une autre étude. De même, une limite négative peut être mathématiquement correcte et signaler que le modèle n’a plus de sens physique à long terme. La conclusion doit donc distinguer ce qui découle des équations et ce que les données permettent de dire sur la situation.