Limites de suites

Une suite peut croître, osciller, se rapprocher d’un nombre ou dépasser toute borne. Ses premières valeurs suggèrent un comportement, mais le mot limite porte sur tous les rangs suffisamment grands. Modifier un nombre fini de termes ne change pas une limite éventuelle. Il faut donc distinguer une propriété globale, comme la croissance à chaque étape, et une propriété asymptotique, qui concerne les grands rangs.

La suite (uₙ) converge vers un réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d’un certain rang. Autrement dit, quelle que soit la précision positive choisie, les termes finissent par rester à une distance de ℓ plus petite que cette précision. Ce rang peut dépendre de la précision. Une limite réelle, lorsqu’elle existe, est unique.

Dire que uₙ tend vers +∞ signifie que, pour chaque seuil réel A, tous les termes dépassent A à partir d’un certain rang. La divergence vers −∞ se définit en sens opposé : tous les termes finissent sous chaque seuil réel. Une suite qui ne converge vers aucun réel peut aussi ne tendre ni vers +∞ ni vers −∞. Le mot divergence ne désigne donc pas uniquement une croissance illimitée.

Par exemple, pour uₙ = 2 + 1/(n + 1), l’écart à deux vaut 1/(n + 1). Pour rendre cet écart strictement inférieur à 0,01, il faut n + 1 > 100, donc n ≥ 100. On n’affirme pas seulement qu’un terme est proche de deux : tous les termes suivants le restent, car leurs dénominateurs sont encore plus grands.

Les limites usuelles donnent 1/n → 0, n → +∞ et n² → +∞ lorsque n tend vers +∞. Les règles d’opérations permettent d’additionner ou de multiplier des suites de limites finies. Pour un quotient de limites finies, la limite du dénominateur doit être non nulle. Une constante multipliée par une suite de limite nulle donne une limite nulle.

Certaines écritures ne déterminent pas à elles seules le résultat : ∞ − ∞, 0 × ∞, 0/0 ou ∞/∞ sont des formes indéterminées. On transforme alors l’expression plutôt que de calculer avec le symbole infini comme avec un nombre. Pour un quotient de polynômes en n, diviser par la puissance dominante permet souvent de retrouver des limites finies connues.

Avec une limite infinie, les signes restent essentiels. Si uₙ → +∞ et vₙ → ℓ réel, alors uₙ + vₙ → +∞. Si ℓ > 0, le produit uₙvₙ tend vers +∞ ; si ℓ < 0, il tend vers −∞. Si |uₙ| → +∞, alors 1/uₙ → 0 dès que les termes sont non nuls. Pour un quotient dont le dénominateur tend vers zéro, on contrôle son signe : 1/vₙ tend vers +∞ si vₙ reste strictement positif à partir d’un certain rang, vers −∞ s’il reste strictement négatif à partir d’un certain rang. Sans ce contrôle, aucune règle unique ne convient.

Une comparaison peut donner une divergence sans calcul exact. Si vₙ ≤ uₙ à partir d’un certain rang et vₙ → +∞, alors uₙ → +∞. En effet, pour tout seuil A, les termes de v finissent par dépasser A ; les termes de u, encore plus grands, le dépassent aussi. Le raisonnement inversé donne une divergence vers −∞ lorsqu’une suite est majorée par une autre qui tend vers −∞.

Le théorème des gendarmes donne une convergence à partir d’un encadrement. Si aₙ ≤ uₙ ≤ bₙ à partir d’un certain rang et si aₙ et bₙ tendent vers le même réel ℓ, alors uₙ tend vers ℓ. Il faut les deux inégalités et une même limite aux deux extrémités. Un encadrement entre zéro et deux, à lui seul, ne fixe pas de limite.

Pour les puissances qⁿ, on distingue les cas. Si q > 1, la limite est +∞. Si −1 < q < 1, la limite est zéro. Si q = 1, les termes valent un. Si q = −1, ils alternent entre un et moins un et n’ont pas de limite. Si q < −1, leurs valeurs absolues deviennent arbitrairement grandes mais leurs signes alternent : il n’y a ni limite réelle ni limite infinie unique. Pour q = 0, les termes de rang au moins un sont nuls.

Justifions les cas principaux. Pour q > 1, on pose a = q − 1 > 0. L’inégalité de Bernoulli donne qⁿ ≥ 1 + na, qui tend vers +∞ ; la comparaison conclut. Pour 0 < q < 1, la suite (1/q)ⁿ tend vers +∞, donc son inverse qⁿ tend vers zéro. Enfin, lorsque −1 < q < 0, on a −|q|ⁿ ≤ qⁿ ≤ |q|ⁿ et les deux bornes tendent vers zéro.

Le théorème de convergence monotone affirme qu’une suite croissante majorée converge vers un réel ; une suite décroissante minorée converge également. Ce théorème est admis ici. Il prouve l’existence d’une limite, sans donner automatiquement sa valeur. La limite d’une suite croissante majorée par M est au plus M, et n’est pas nécessairement M.

Une suite croissante non majorée tend vers +∞. Pour le voir, fixons un seuil A. Puisque la suite n’est pas majorée, un terme uₙ₀ dépasse A. Comme elle est croissante, chaque terme ultérieur dépasse aussi A. Les deux hypothèses sont nécessaires : une suite seulement non majorée peut alterner entre des valeurs positives croissantes et des valeurs très petites.

Devant une expression explicite, commence par identifier les limites connues et les formes indéterminées. Devant une relation de récurrence, recherche un intervalle stable, une monotonie ou un changement de suite. Une valeur numérique très proche d’un nombre peut guider la recherche ; elle ne remplace pas l’argument qui assure que tous les termes futurs se comportent comme annoncé.

Un algorithme de seuil utilise une boucle : initialiser le rang et le terme, répéter la relation tant que le seuil n’est pas atteint, puis rendre le premier rang convenable. Il faut justifier que la boucle finira, par exemple grâce à une divergence ou à une convergence vers une valeur strictement au-delà du seuil. Si la limite est exactement le seuil, l’atteinte n’est pas garantie.