Équations et polynômes complexes

Dans les réels, une équation du second degré peut ne pas avoir de solution. Dans les complexes, le nombre i vérifie i² = −1 et permet de poursuivre le calcul. On ne remplace pas pour autant toutes les règles : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul ; on peut diviser par un nombre complexe non nul ; une égalité s’établit en comparant les parties réelle et imaginaire. Il faut savoir développer, utiliser un conjugué et calculer un module avant ce chapitre.

Une fonction polynôme s’écrit P(z) = aₙzⁿ + … + a₁z + a₀, où aₙ est non nul. Son degré est n. Un nombre α est une racine lorsque P(α) = 0. La fonction nulle est un cas à part : tous les nombres complexes sont ses racines et on ne lui attribue pas ici de degré. Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré, pas nécessairement le premier terme écrit dans l’énoncé.

Pour vérifier une solution proposée, substitue-la dans l’expression initiale. Ce contrôle détecte une erreur de signe ou une mauvaise factorisation, mais il ne prouve pas que toutes les solutions ont été trouvées. Pour assurer l’exhaustivité, on raisonne par équivalences ou on factorise entièrement. La calculatrice peut suggérer une racine ; la substitution exacte puis la démonstration donnent son statut mathématique.

Considérons az² + bz + c = 0 avec a, b et c réels et a ≠ 0. Le discriminant Δ = b² − 4ac organise la résolution. Si Δ > 0, on retrouve les deux racines réelles (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a). Si Δ = 0, une seule valeur, −b/(2a), est racine double. Si Δ < 0, les deux solutions sont (−b − i√(−Δ))/(2a) et (−b + i√(−Δ))/(2a). Elles sont conjuguées.

La formule se comprend grâce à la forme canonique : az² + bz + c = a[(z + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. Pour Δ négatif, on résout une équation dont le carré est un réel négatif. Par exemple w² = −4 équivaut à (w − 2i)(w + 2i) = 0. Il ne faut pas écrire une racine carrée réelle d’un nombre négatif. La notation √(−Δ) reste celle d’un réel positif.

L’identité zⁿ − αⁿ = (z − α)(zⁿ⁻¹ + αzⁿ⁻² + … + αⁿ⁻¹) s’obtient en développant : les termes intermédiaires se compensent. Pour n = 3, on trouve z³ − α³ = (z − α)(z² + αz + α²). Cette identité permet de comprendre un résultat central : si P(α) = 0, alors P(z) se factorise par z − α.

En effet, P(z) = P(z) − P(α), puisque P(α) est nul. Chaque différence aₖ(zᵏ − αᵏ) est divisible par z − α d’après l’identité précédente. Leur somme l’est donc aussi. On obtient P(z) = (z − α)Q(z), où Q est de degré inférieur d’une unité. Cette preuve ne réclame pas de division formelle des polynômes ; elle relie une racine, qui est un nombre, à un facteur, qui est une expression.

Pour trouver Q sur un exemple, on peut écrire ses coefficients inconnus puis développer. L’identification repose sur la propriété admise : deux polynômes égaux pour tout z ont les mêmes coefficients. On ne compare pas simplement leurs valeurs en un point. Une fois les coefficients trouvés, redévelopper le produit est un contrôle rapide et indépendant de la recherche.

Un polynôme non nul de degré n possède au plus n racines distinctes. Pour le démontrer, on raisonne par récurrence sur le degré. Une constante non nulle ne s’annule jamais. Si un polynôme de degré n possède une racine α, il s’écrit (z − α)Q(z). Toute autre racine annule Q, de degré n − 1. Par récurrence, Q possède au plus n − 1 racines distinctes, d’où au plus n pour P. Si P ne possède aucune racine, la majoration est immédiate.

Cette majoration ne dit pas qu’il existe toujours n valeurs différentes. Le polynôme (z − 1)³ a une seule racine distincte. On peut compter sa multiplicité, mais il faut l’annoncer. La preuve précédente donne une borne ; elle ne constitue pas une preuve générale de l’existence de racines complexes. Résoudre les équations étudiées ici repose sur des factorisations effectives et sur le second degré.

Pour un second degré factorisé a(z − α)(z − β), le développement donne α + β = −b/a et αβ = c/a. Ces relations entre somme, produit et coefficients constituent un contrôle particulièrement utile. Elles permettent également de construire une équation lorsque deux racines sont données. Avec des coefficients réels, si α est racine, son conjugué l’est aussi : conjuguer P(α) = 0 donne P(conj(α)) = 0.

Erreurs fréquentes : conserver seulement les solutions réelles alors que l’ensemble demandé est ℂ ; écrire Δ sous une racine réelle quand Δ est négatif ; diviser par z et perdre la solution zéro ; compter deux fois une racine double comme deux valeurs distinctes. Avant toute division par une expression dépendant de z, examine séparément son annulation. Cette discipline permet de transformer une recherche de solutions en une démonstration d’équivalence.

Reprends un exemple en masquant la solution et vérifie le résultat avec une autre méthode. Tu peux ensuite ouvrir S’entraîner dans /exercices. Pour expliquer ta démarche, sépare clairement trois étapes : reconnaître un facteur, résoudre les facteurs obtenus, puis annoncer toutes les solutions. Cette organisation rend lisible un calcul même lorsque les nombres complexes sont nouveaux.