Les nombres complexes

Dans les réels, aucun carré ne vaut −1. On admet un ensemble plus grand, noté ℂ, contenant les réels et un nombre i tel que i² = −1. Tout complexe s’écrit de façon unique z = a + ib, où a et b sont réels. Cette forme algébrique permet de calculer sans modifier les règles de distributivité et d’associativité. Il faut seulement remplacer chaque i² par −1. Le symbole i est un nombre fixé, pas une variable inconnue.

La partie réelle de z est Re(z) = a ; sa partie imaginaire est Im(z) = b. Toutes deux sont des nombres réels. Ainsi, pour z = −4 + 7i, la partie imaginaire vaut 7 et non 7i. Les réels correspondent à b = 0 ; les imaginaires purs correspondent à a = 0. Le nombre zéro appartient aux deux catégories. Deux complexes sont égaux exactement lorsque leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Une égalité complexe peut donc fournir deux équations réelles.

Si z = a + ib et w = c + id, alors z + w = (a + c) + i(b + d) et zw = (ac − bd) + i(ad + bc). Pour le produit, développe les quatre termes puis regroupe. Les puissances de i se répètent tous les quatre exposants : i, −1, −i, 1. Pour i à la puissance 2026, le reste de la division de 2026 par 4 est 2 ; le résultat vaut donc −1. Une comparaison comme z > 0 n’a pas de sens usuel pour un complexe non réel.

Le conjugué de z = a + ib, noté z̄, est a − ib. Il conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire. On a z + z̄ = 2a, z − z̄ = 2ib et le conjugué de z̄ est z. Donc z est réel si et seulement si z̄ = z, et imaginaire pur si et seulement si z̄ = −z. Dans un repère orthonormé, z est l’affixe du point de coordonnées (a, b) ; son conjugué correspond au symétrique par rapport à l’axe réel.

La conjugaison respecte les sommes et les produits. Pour démontrer la propriété du produit, écris z = a + ib et w = c + id. Le conjugué de zw est (ac − bd) − i(ad + bc). En développant (a − ib)(c − id), on obtient exactement cette expression : le conjugué de zw est donc z̄w̄. Pour une somme, on change simplement les signes de b et d. Ces identités s’appliquent à tous les complexes, y compris zéro.

Le produit z z̄ vaut (a + ib)(a − ib) = a² + b². Si z est non nul, a et b ne sont pas simultanément nuls ; ce réel est donc strictement positif. On obtient 1/z = z̄/(a² + b²). Pour diviser par z, on multiplie numérateur et dénominateur par z̄ : la fraction ne change pas, mais son dénominateur devient réel. On ne divise jamais séparément les parties réelles et imaginaires.

Pour z non nul, conjuguer z × (1/z) = 1 donne z̄ × conjugué(1/z) = 1, donc conjugué(1/z) = 1/z̄. La propriété des produits donne aussi conjugué(zⁿ) = (z̄)ⁿ pour tout entier naturel n, par récurrence. Elle s’étend aux entiers négatifs lorsque z est non nul, en utilisant l’inverse. Pour n = 0, on utilise la convention z⁰ = 1 pour z non nul ; l’expression 0⁰ n’est pas utilisée ici.

Dans un repère orthonormé, le module de z = a + ib est la distance de l’origine au point d’affixe z. Le théorème de Pythagore donne |z| = √(a² + b²). C’est toujours un réel positif ou nul, et |z| = 0 équivaut à z = 0. Si z est réel, son module est sa valeur absolue. Par exemple, |−6| = 6 et |−6i| = 6. Le module ne conserve pas le signe des coordonnées et ne permet pas, seul, de retrouver le point.

Le calcul précédent établit |z|² = z z̄. Il montre aussi |z̄| = |z|. Pour démontrer la règle du produit, calcule |zw|² = zw × z̄w̄ = (z z̄)(w w̄) = |z|²|w|². Comme les modules sont positifs ou nuls, on peut prendre les racines carrées et obtenir |zw| = |z||w|. Pour z non nul, appliquer cette règle à z × (1/z) = 1 donne |1/z| = 1/|z|. Par répétition, |zⁿ| = |z|ⁿ pour n entier strictement positif ; pour les exposants négatifs, z doit être non nul.

On en déduit |z/w| = |z|/|w| lorsque w est non nul. En revanche, le module ne respecte pas l’addition : |1 + (−1)| vaut 0 alors que |1| + |−1| vaut 2. L’ensemble des complexes de module 1 se note 𝕌. Il est stable par produit et par inverse, car 1 × 1 = 1 et 1/1 = 1. Pour u dans 𝕌, l’inverse de u est son conjugué.

La formule du binôme reste vraie dans ℂ : pour n entier naturel et z, w complexes, (z + w)ⁿ = Σ de k = 0 à n de C(n,k) zᵏ wⁿ⁻ᵏ. Pour n = 0, on interprète l’identité constante 1 = 1 ; les facteurs d’exposant zéro dans le polynôme valent 1. Les coefficients C(n,k) sont ceux du triangle de Pascal. Pour n = 3, cela donne z³ + 3z²w + 3zw² + w³. Cette formule est utile pour développer une puissance, mais un calcul préalable peut être plus court, comme pour les puissances de 1 + i.

S’entraîner : ouvre l’espace /exercices et cherche un entraînement sur les nombres complexes. Pour poursuivre le cours, étudie les formes trigonométrique et exponentielle : elles décrivent un nombre par sa distance à l’origine et une direction.