Formes trigonométrique et exponentielle

La forme algébrique z = a + ib donne deux coordonnées. Pour un complexe non nul, on peut aussi donner une distance r = |z|, strictement positive, et une direction. Dans un repère orthonormé direct, un argument θ de z est une mesure en radians de l’angle orienté depuis l’axe réel positif vers le vecteur allant de l’origine au point d’affixe z. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le nombre zéro n’a pas d’argument : à l’origine, aucune direction n’est définie.

Si θ est un argument de z, tous ses arguments sont θ + 2kπ, avec k entier relatif. Ajouter un tour complet ne déplace pas le point. On écrit arg(z) = θ modulo 2π pour désigner cette famille ; ce n’est pas une égalité entre une valeur unique et θ. Lorsque l’on demande l’argument principal, on choisit ici le représentant dans ]−π ; π]. Ainsi, π et −π décrivent la même direction, mais seul π appartient à cet intervalle. Une autre convention doit être annoncée.

Pour trouver un argument de a + ib, calcule d’abord r, puis cherche un angle satisfaisant simultanément cos θ = a/r et sin θ = b/r. Le couple des deux signes fixe le quadrant. Le quotient b/a seul ne suffit pas : la tangente a une période π, et ce quotient n’existe pas lorsque a = 0. Pour un réel strictement positif, 0 est un argument ; pour un réel strictement négatif, π convient. Pour un imaginaire pur, les directions π/2 ou −π/2 dépendent du signe de sa partie imaginaire.

La forme trigonométrique est z = r(cos θ + i sin θ), avec r strictement positif et θ un argument. On définit l’exponentielle imaginaire par e^(iθ) = cos θ + i sin θ pour θ réel. La forme exponentielle s’écrit alors z = r e^(iθ). Dans cette écriture, le module n’est pas facultatif : e^(iθ) seul a toujours pour module 1. Ce chapitre utilise cette définition sur les exposants imaginaires purs, sans nécessiter une théorie générale de l’exponentielle complexe.

On obtient e⁰ = 1, e^(iπ/2) = i et e^(iπ) = −1. Un coefficient négatif devant une exponentielle n’est pas un module : −r e^(iθ) = r e^(i(θ + π)) pour r strictement positif. Pour revenir à la forme algébrique, calcule r cos θ et r sin θ. Par exemple, 4e^(iπ/6) = 2√3 + 2i. Vérifie que le carré du module retrouvé vaut bien 16.

La relation fonctionnelle est e^(iα)e^(iβ) = e^(i(α + β)). Elle découle des formules d’addition : cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β et sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. En développant le produit des deux formes trigonométriques, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont précisément ces expressions. La notation exponentielle respecte donc une propriété démontrée, pas une règle appliquée par ressemblance.

Avec β = α, on obtient cos(2α) = cos² α − sin² α = 2cos² α − 1 = 1 − 2sin² α, et sin(2α) = 2sin α cos α. Ces formules de duplication expriment un angle double. Elles ne disent jamais que cos(2α) vaut 2cos α. Elles servent aussi en sens inverse : cos² α = (1 + cos(2α))/2 permet de remplacer un carré par une expression sans puissance.

Pour z = r e^(iθ) et w = s e^(iφ), avec r et s strictement positifs, on a zw = rs e^(i(θ + φ)) et z/w = (r/s)e^(i(θ − φ)). Les modules se multiplient ou se divisent ; les arguments s’ajoutent ou se soustraient, toujours modulo 2π. Le conjugué de z est r e^(−iθ) et son inverse vaut (1/r)e^(−iθ). À titre de contrôle, z multiplié par son inverse a pour module 1 et pour argument 0 : on retrouve 1.

Pour n entier relatif et z non nul, zⁿ = rⁿ e^(inθ). Pour n positif, cette formule découle de produits répétés ; pour n négatif, on utilise l’inverse. Pour n = 0, elle donne 1. Lorsque r = 1, elle devient la formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Pour un complexe nul, on calcule directement ses puissances d’exposant strictement positif ; on ne lui attribue pas d’argument.

Choisir une forme est une décision de méthode. La forme algébrique convient aux sommes : on additionne les deux coordonnées. La forme exponentielle convient souvent aux grandes puissances et aux produits dont les arguments sont déjà connus. Elle ne transforme pas une somme en addition d’angles. Par exemple, 1 + i a pour module √2, alors que les modules de 1 et i valent chacun 1. Il n’existe donc pas de règle générale consistant à additionner les modules.

Le conjugué de e^(iθ) est e^(−iθ) = cos θ − i sin θ. En additionnant puis en soustrayant ces deux égalités, on obtient les formules d’Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i). Attention au dénominateur 2i dans la seconde. Ces formules font passer d’un calcul trigonométrique à un calcul algébrique. Elles permettent notamment de linéariser : remplacer des produits ou puissances de sinus et cosinus par des sommes de fonctions trigonométriques d’angles multiples.

Cette transformation facilite une intégration : une primitive de cos³ x est (3/4)sin x + (1/12)sin(3x). En dérivant, le facteur 3 issu de sin(3x) redonne bien (1/4)cos(3x). La formule de Moivre offre une autre démarche : développer (cos θ + i sin θ)³ et identifier la partie réelle donne cos(3θ) = cos³ θ − 3cos θ sin² θ. Avec sin² θ = 1 − cos² θ, on retrouve la même identité. Deux démonstrations peuvent donc éclairer le même résultat.

S’entraîner : ouvre l’espace /exercices pour chercher les activités sur les complexes. La suite du parcours, Complexes et géométrie, utilise les arguments et les modules pour étudier des configurations du plan.