Complexes et géométrie

Dans un repère orthonormé direct du plan, le point M de coordonnées (x ; y) a pour affixe z = x + iy. Le mot direct fixe le sens positif des angles, contraire au mouvement des aiguilles d’une montre. La partie imaginaire est le réel y, et non iy. Le vecteur allant de A à B a pour affixe b − a, où a et b sont les affixes de ces points. Un point et un vecteur peuvent donc avoir la même affixe, mais ce sont des objets différents.

L’addition des affixes traduit l’addition des vecteurs. Le milieu I de [AB] a pour affixe (a + b)/2, car ses deux coordonnées sont les moyennes des coordonnées correspondantes. Le conjugué de x + iy est x − iy ; son image est le symétrique de M par rapport à l’axe réel. Ces traductions permettent de choisir un calcul court plutôt qu’une longue étude de coordonnées. Avant de calculer, écris toujours ce que représentent les lettres.

Le module vérifie |x + iy| = √(x² + y²). Le caractère orthonormé du repère est essentiel pour interpréter cette formule comme une longueur. En particulier, AB = |b − a|. La formule avec |a| et |b| séparément ne donne généralement pas AB : elle mesure deux distances à l’origine, sans tenir compte de leurs directions. Le module est nul exactement lorsque le nombre complexe est nul.

Supposons A, B et C distincts deux à deux. Le quotient q = (c − a)/(b − a) compare les vecteurs AB et AC, dans cet ordre. Son module vaut AC/AB. Ses arguments mesurent l’angle orienté (AB ; AC) modulo 2π. Cela vient des règles du produit et du quotient sous forme exponentielle : les modules se divisent et les arguments se soustraient. Inverser le quotient conserve certaines propriétés, mais inverse le rapport des longueurs et change le signe de l’angle.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si q est réel. Un réel positif indique que les vecteurs ont le même sens ; un réel négatif indique des sens opposés. Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si et seulement si q est imaginaire pur. Ici q est non nul : un angle droit exige deux vecteurs non nuls. Enfin, |q| = 1 signifie AB = AC ; cela ne suffit pas à démontrer un angle droit ou un triangle équilatéral.

Une équation portant sur z décrit un ensemble de points M. Pour la comprendre, remplace chaque module par une distance. L’égalité |z − a| = r, avec r strictement positif, décrit le cercle de centre A et de rayon r. Pour r = 0, l’ensemble se réduit au point A ; pour r négatif, il est vide. L’égalité |z − a| = |z − b|, lorsque A et B sont distincts, décrit la médiatrice de [AB].

Une condition sur un quotient nécessite une attention supplémentaire. L’expression (z − a)/(b − a) est définie si b ≠ a ; elle est réelle lorsque M est sur (AB), y compris M = A. En revanche, son argument n’existe pas pour M = A. L’ensemble défini par une condition d’argument exclut donc ce point. Cette différence entre une égalité algébrique et un angle géométrique évite des solutions parasites.

Une rotation peut aussi s’écrire avec des affixes. La rotation de centre A et d’angle θ transforme z en z′ = a + e^(iθ)(z − a). Le calcul commence par le vecteur AM, fait tourner ce vecteur, puis revient au point A. Pour θ = π/2, le facteur vaut i. La translation, elle, ajoute une constante. Ces écritures sont utiles pour construire un point, mais la nature d’une transformation doit être justifiée par le module et l’argument du facteur.

Pour un entier n supérieur ou égal à 2, les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions de z^n = 1. En prenant les modules, |z|^n = 1, donc |z| = 1. En écrivant z = e^(iθ), l’équation équivaut à nθ = 2kπ pour un entier k. Les solutions distinctes sont donc e^(2ikπ/n), pour k de 0 à n − 1. Ajouter n à k redonne la même solution ; deux indices de cet intervalle ne peuvent donner le même point.

Leurs images sont réparties à intervalles angulaires égaux sur le cercle unité. Elles forment un polygone régulier, avec un sommet d’affixe 1. Pour n = 2, les solutions sont 1 et −1. Pour n = 3, elles sont 1, j et j², avec j = −1/2 + i√3/2. Pour n = 4, elles sont 1, i, −1 et −i. On obtient respectivement deux points diamétralement opposés, un triangle équilatéral et un carré.

Erreurs fréquentes : confondre module et partie réelle ; oublier que zéro n’a pas d’argument ; intervertir AB/AC et AC/AB ; annoncer une perpendicularité à partir d’un quotient réel. Pour te corriger, demande-toi à chaque ligne quelle distance ou quel angle ton expression représente. Une réponse algébrique isolée, même exacte, ne suffit pas si la question porte sur un triangle ou un lieu géométrique.

Pour t’entraîner, cherche d’abord sans afficher les réponses, puis ouvre S’entraîner dans l’espace /exercices du site. Explique ensuite un exemple à voix haute : précise les points distincts, le quotient choisi et la conclusion géométrique. Cette reformulation fait apparaître les hypothèses oubliées et aide à choisir une méthode dans une situation différente.