Statistiques à deux variables

Une série statistique à deux variables quantitatives associe deux nombres à chaque individu ou à chaque observation. On dispose donc de couples (xᵢ ; yᵢ). Par exemple, chaque couple peut réunir une durée et une mesure obtenue après cette durée. Il faut conserver cet appariement : trier séparément les deux listes puis les rapprocher fabriquerait de faux couples et pourrait créer une liaison inexistante.

Un nuage de points place chaque couple dans un repère. L’axe horizontal porte la variable x et l’axe vertical la variable y. Les unités, la population observée et les conditions de mesure doivent être précisées. Avant de calculer un coefficient, on regarde l’allure du nuage : tendance croissante ou décroissante, courbure, groupes distincts, point isolé. Une représentation peut révéler une structure qu’un seul nombre ne résume pas.

Le point moyen G a pour coordonnées x̄ et ȳ, les moyennes des deux séries. On calcule donc chaque moyenne sur les mêmes n observations. Le point moyen peut ne correspondre à aucun individu réel. Il constitue un repère pour le nuage, mais ne résume pas sa dispersion ni sa forme. Plusieurs nuages très différents peuvent partager exactement le même point moyen.

Un ajustement affine propose une relation y ≈ ax + b pour résumer une tendance approximativement rectiligne. Pour une observation d’abscisse xᵢ, la valeur prévue est axᵢ + b ; le résidu est yᵢ − (axᵢ + b). Un résidu positif signifie que le point est au-dessus de la droite. La méthode des moindres carrés choisit les coefficients a et b qui minimisent la somme des carrés de ces écarts verticaux.

Le carré empêche les résidus positifs et négatifs de s’annuler et donne un poids important aux grands écarts. On ne minimise donc pas la somme des distances géométriques les plus courtes aux points. Le choix de y comme variable à expliquer compte : ajuster y en fonction de x et ajuster x en fonction de y sont en général deux problèmes différents. Inverser simplement une droite obtenue ne donne pas automatiquement l’autre régression.

On pose Sxx = Σ(xᵢ − x̄)² et Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ). Si Sxx > 0, la pente est a = Sxy/Sxx et l’ordonnée à l’origine b = ȳ − ax̄. La droite passe donc par G. Si toutes les abscisses sont identiques, Sxx = 0 et cette pente n’est pas définie. Une calculatrice ou un tableur peut effectuer les sommes, mais tu dois encore interpréter les paramètres et vérifier les données entrées.

Une interpolation estime y pour une abscisse située entre les abscisses observées. Une extrapolation utilise une abscisse extérieure à cette plage. À x = 1,5, la droite précédente prévoit 2,5 : c’est une interpolation. À x = 10, elle prévoit 12,7 : c’est une extrapolation très éloignée. Le calcul est correct dans la formule, mais la pertinence du résultat dépend du maintien de la tendance hors de la zone observée.

On pose Syy = Σ(yᵢ − ȳ)². Si Sxx et Syy sont strictement positifs, le coefficient de corrélation linéaire est r = Sxy/√(SxxSyy). Il est compris entre −1 et 1. Son signe donne le sens de la tendance linéaire et sa valeur absolue indique l’intensité de cette liaison. Une valeur proche de un en valeur absolue signifie que les points sont proches d’une droite ; cela ne suffit pas à valider toutes les utilisations d’un modèle.

Pour les quatre couples étudiés, Syy = 9 et r = 6/√45, soit environ 0,894. La liaison linéaire est positive. Ce nombre n’est ni une probabilité ni la proportion de points correctement prédits. Il ne démontre pas qu’une variation de x cause une variation de y. Un point très éloigné peut modifier fortement r ; il faut donc revenir au nuage et aux conditions de collecte.

Un coefficient r nul signifie absence de liaison linéaire mesurée par ce coefficient, pas absence de toute liaison. Dans la série (−2 ; 4), (−1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), on a exactement y = x². Pourtant Sxy = 0 par symétrie et r = 0. La relation est forte, mais elle est courbe. Ce contre-exemple montre pourquoi il faut tracer le nuage avant de commenter r.

Pour discuter une causalité, on examine les mécanismes possibles, l’ordre temporel, les variables de confusion et le protocole d’observation ou d’expérimentation. Par exemple, une même saison peut augmenter simultanément deux activités sans que l’une provoque l’autre. Une causalité inverse est aussi possible. Une étude observationnelle et une expérience contrôlée n’apportent pas les mêmes arguments ; aucun coefficient isolé ne tranche ces questions.

Un nuage courbé peut parfois devenir approximativement aligné après un changement de variable. Si toutes les ordonnées sont strictement positives et qu’une évolution exponentielle paraît plausible, on pose z = ln(y), puis on ajuste z ≈ αx + β. En revenant à y, le modèle est y ≈ exp(β)exp(αx). Le logarithme ne s’applique pas à des valeurs nulles ou négatives : le domaine de définition doit être vérifié avant le calcul.

Cet ajustement minimise des carrés d’écarts dans les logarithmes, et non dans les valeurs initiales de y. Il ne fournit donc pas nécessairement le même modèle qu’un autre critère d’ajustement exponentiel. Après le retour aux unités initiales, on contrôle les résidus, les valeurs prévues et la cohérence avec le contexte. Le modèle doit être présenté avec la plage de données qui l’a servi à construire.

Pour t’entraîner, ouvre S’entraîner à l’adresse /exercices. Le croisement de variables catégorielles prolongera cette analyse : les groupes et leurs tailles y compteront autant que les taux calculés.