Inférence bayésienne et risques

Une alarme signale un défaut possible, mais un signal n’est pas une preuve certaine de défaut. Pour raisonner, on distingue l’état réel d’un objet et le résultat d’un contrôle. On note D l’événement « l’objet présente un défaut » et S l’événement « le contrôle donne un signal ». La probabilité P(D), avant le contrôle, est la probabilité a priori. Après observation du signal, l’information utile devient P(D | S), appelée probabilité a posteriori.

La sensibilité est P(S | D) : elle mesure la proportion de signaux parmi les objets réellement défectueux. La spécificité est P(non S | non D) : elle mesure la proportion de contrôles sans signal parmi les objets sans défaut. Un faux positif correspond à non D et S ; un faux négatif correspond à D et non S. Ces quatre cas décrivent des intersections. Les taux associés changent selon le groupe utilisé au dénominateur.

La valeur prédictive positive est P(D | S). Elle répond à la question posée après une alarme. Elle n’est pas égale à la sensibilité, qui répond à la question inverse. La valeur prédictive négative est P(non D | non S). Le calcul exige aussi la fréquence initiale du défaut dans la population étudiée. Un même dispositif peut donc avoir des valeurs prédictives différentes dans deux populations, même si sa sensibilité et sa spécificité restent identiques.

Notons π la probabilité initiale du défaut, s la sensibilité et c la spécificité. La probabilité d’un signal vaut sπ + (1 − c)(1 − π). La formule de Bayes donne P(D | S) = sπ/[sπ + (1 − c)(1 − π)], lorsque le dénominateur est strictement positif. Le numérateur rassemble les vrais positifs et le dénominateur tous les positifs, vrais comme faux.

Avec s = 0,90 et c = 0,95, la formule devient q(π) = 0,90π/(0,05 + 0,85π). Pour π dans [0 ; 1], le dénominateur est strictement positif. La dérivée est q′(π) = 0,045/(0,05 + 0,85π)², donc q est strictement croissante. Si les défauts sont plus fréquents au départ, un signal est plus souvent associé à un vrai défaut. Ce résultat explique pourquoi oublier la fréquence de base fausse l’interprétation.

Si π = 0,20, la valeur prédictive vaut 0,18/(0,18 + 0,04) = 9/11, environ 81,82 %. Le contrôle n’a pas changé ; seule la population de départ diffère. Dans la population à 1 % de défauts, les contrôles sans signal correspondent à 9 405 objets sans défaut et dix défauts manqués. La valeur prédictive négative y vaut 9 405/9 415, environ 99,89 %. Cette forte valeur n’efface pas l’existence des dix faux négatifs.

Après un premier résultat, on peut mettre à jour la probabilité puis tenir compte d’une nouvelle observation. Mais multiplier deux probabilités exige une hypothèse précise. Deux contrôles utilisant le même signal physique peuvent partager une source d’erreur. Répéter le même appareil ne crée pas automatiquement une nouvelle information indépendante. Il faut distinguer indépendance globale et indépendance conditionnelle à l’état réel.

Supposons deux contrôles indépendants sachant D, et indépendants sachant non D, avec les mêmes sensibilité et spécificité. Alors la probabilité de deux signaux sachant D est s² et celle de deux signaux sachant non D est (1 − c)². On applique Bayes à l’événement « deux signaux ». Ce raisonnement ne consiste pas à élever au carré la probabilité de défaut calculée après le premier signal.

Une probabilité a posteriori ne détermine pas à elle seule une action. Il faut aussi connaître les conséquences d’une erreur, les alternatives disponibles et le coût d’un contrôle complémentaire. Dans un exercice, un critère de décision doit être fourni ou explicitement choisi dans la modélisation. Le calcul quantifie une incertitude ; il ne supprime ni les hypothèses ni la responsabilité de la décision.

La fiabilité à la date t peut être décrite par R(t) = P(T > t), où T représente une durée avant défaillance. Pour une durée exponentielle de paramètre λ > 0, R(t) = exp(−λt). L’espérance de T vaut 1/λ. Ce modèle suppose une absence de mémoire : P(T > s + t | T > s) = R(t). Une pièce déjà en service depuis s unités de temps a la même loi d’attente restante qu’une pièce neuve dans ce modèle.

Cette hypothèse doit être examinée, car des phénomènes d’usure, de vieillissement ou de défauts précoces peuvent la rendre inadaptée. Une espérance de dix heures ne signifie pas une panne obligatoire à dix heures. Elle résume une distribution qui contient des durées plus courtes et plus longues. Une probabilité de survie décroît avec la durée, tandis que la probabilité de défaillance avant cette durée augmente.

Si deux composants doivent tous deux fonctionner pour qu’un ensemble fonctionne, et si leurs durées sont indépendantes, la fiabilité de l’ensemble à une date donnée est le produit des deux fiabilités. Pour deux composants du modèle précédent, à cinq heures, elle vaut exp(−0,5)² = exp(−1), environ 0,36788. Cette multiplication dépend de l’indépendance : une panne d’alimentation commune peut la rendre fausse.

Pour continuer, ouvre S’entraîner à l’adresse /exercices. Reprends les probabilités conditionnelles si le dénominateur reste difficile à choisir ; les tableaux croisés permettront ensuite de comparer des groupes sans confondre leurs tailles.