Répéter des expériences

Une épreuve de Bernoulli est une expérience dont on retient deux issues : succès et échec. Le succès est une étiquette mathématique, pas forcément un événement souhaitable. Dans un contrôle de qualité, on peut appeler succès « la pièce présente un défaut ». On note p la probabilité du succès. La variable Y vaut 1 en cas de succès et 0 sinon ; elle suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

L’espérance de Y vaut E(Y) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p. Comme Y² = Y, sa variance vaut E(Y²) − E(Y)² = p − p² = p(1 − p). Son écart type est donc √(p(1 − p)). L’espérance décrit une moyenne théorique, sans annoncer le résultat d’un essai particulier. Si p vaut zéro ou un, le résultat est certain et la variance est nulle.

Un schéma de Bernoulli consiste à répéter n fois, indépendamment, la même épreuve de probabilité p. Trois vérifications sont nécessaires : deux issues retenues, même probabilité à chaque étape, indépendance des essais. Un tirage sans remise dans un petit stock ne respecte généralement pas ces conditions. Un tirage avec remise peut les respecter si l’on mélange et si le procédé de tirage est indépendant. Le contexte décide du modèle, pas la seule présence du mot répétition.

On note X le nombre de succès parmi n essais d’un schéma de Bernoulli. X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p), et prend les valeurs entières de 0 à n. Pour obtenir exactement k succès, un chemin précis a une probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Il faut multiplier cette probabilité par le nombre de positions possibles des k succès parmi les n essais.

Ce nombre est le coefficient binomial « k parmi n », noté C(n ; k). On a P(X = k) = C(n ; k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Le triangle de Pascal permet de calculer ces coefficients : les bords valent un et chaque nombre intérieur est la somme des deux situés au-dessus. Pour n = 3, la ligne est 1, 3, 3, 1. La symétrie C(n ; k) = C(n ; n − k) correspond au choix des succès ou, de façon équivalente, des échecs.

Pour trois lancers équilibrés, les nombres de piles zéro, un, deux et trois ont donc les probabilités 1/8, 3/8, 3/8 et 1/8. La somme vaut un. La distribution est représentée par des barres séparées parce que X ne prend que des valeurs entières. Obtenir 1,5 succès en trois essais n’a pas de sens.

L’espérance de X vaut np et son écart type vaut √(np(1 − p)). Ici E(X) = 1,5 et l’écart type vaut √0,75, soit environ 0,866. Une espérance peut être non entière même si toutes les observations sont entières. Elle ne désigne pas la valeur qui apparaîtra nécessairement, ni même une valeur réalisable. L’écart type mesure la dispersion dans l’unité du nombre de succès.

Changer la règle d’arrêt change la variable. Au lieu de fixer le nombre d’essais, on répète des épreuves indépendantes jusqu’au premier succès, avec une probabilité p strictement positive et au plus égale à un. On note N le rang de ce premier succès, en comptant le premier essai comme rang un. N suit une loi géométrique. Ses valeurs possibles sont 1, 2, 3, et ainsi de suite ; si p = 1, N vaut toujours un.

L’événement N = k correspond à k − 1 échecs suivis d’un succès. Ainsi P(N = k) = (1 − p)ᵏ⁻¹p. L’événement N > k signifie que les k premiers essais ont échoué, donc P(N > k) = (1 − p)ᵏ. Pour k entier positif ou nul, P(N ≤ k) = 1 − (1 − p)ᵏ. Les symboles stricts comptent : N ≥ k signifie seulement que les k − 1 premiers essais ont échoué.

L’espérance du rang du premier succès vaut E(N) = 1/p. Avec p = 1/4, elle vaut quatre essais. Cela ne signifie pas que le quatrième essai doit réussir. Même après plusieurs échecs, la probabilité du succès au prochain essai reste p, car les essais sont indépendants. L’idée selon laquelle un succès serait devenu « dû » après une série d’échecs est une erreur.

L’absence de mémoire s’écrit P(N > m + k | N > m) = (1 − p)ᵏ pour des entiers m et k positifs ou nuls, lorsque la condition a une probabilité positive. En effet, le quotient (1 − p)ᵐ⁺ᵏ/(1 − p)ᵐ vaut (1 − p)ᵏ. Après les m échecs déjà observés, l’attente supplémentaire a la même distribution qu’au départ. Cette propriété appartient au modèle ; elle ne décrit pas automatiquement un objet qui s’use.

Pour simuler un essai de Bernoulli, on peut tirer un nombre U uniformément dans [0 ; 1] puis déclarer un succès si U < p. Pour une binomiale, on répète cette procédure n fois avec des tirages indépendants et on compte les succès. Pour une géométrique, on compte les essais jusqu’au premier succès. Dans un programme, il faut initialiser le compteur et préciser si l’on compte les essais ou seulement les échecs.

Une simulation produit une fréquence observée ; une formule donne une probabilité du modèle. Ces deux nombres ne coïncident pas nécessairement dans un nombre fini de répétitions. Augmenter la taille d’une simulation réduit généralement les fluctuations, sans garantir une amélioration à chaque répétition. Pour étudier une fréquence de succès F = X/n, son espérance vaut p et son écart type vaut √(p(1 − p)/n). Multiplier n par quatre divise cet écart type par deux.

Le modèle uniforme discret fournit un autre point de comparaison. Si les valeurs 1 à d sont équiprobables, chacune a une probabilité 1/d et l’espérance vaut (d + 1)/2. Pour un dé équilibré à six faces, l’espérance est 3,5. Ce modèle porte sur la valeur d’un résultat ; la binomiale porte sur le nombre de succès et la géométrique sur un rang. Décrire ce que mesure la variable est donc prioritaire.

Pour poursuivre, ouvre S’entraîner à l’adresse /exercices. La prochaine étape consiste à modéliser une durée continue : les probabilités ne seront plus les hauteurs de barres isolées, mais des aires sous une densité.