Lois à densité

Une durée, une longueur ou une masse peut être modélisée par une variable aléatoire continue. Dans ce cadre, on cherche la probabilité que la valeur appartienne à un intervalle. Une densité f est une fonction positive ou nulle dont l’aire totale sous la courbe vaut un. Pour une variable X de densité f, la probabilité P(a ≤ X ≤ b) est l’intégrale de f entre a et b. La probabilité est une aire ; la valeur f(a) est seulement une hauteur.

Si la densité n’est non nulle que sur un intervalle [u ; v], les intégrales se calculent sur ce support. Si elle se prolonge sur une demi-droite, l’aire totale se comprend comme la limite des intégrales sur des intervalles de plus en plus grands. Il faut vérifier à la fois le signe et l’aire totale : une fonction positive d’aire deux n’est pas une densité. Une fonction qui prend des valeurs négatives n’en est pas une non plus, même si son intégrale vaut un.

Pour une loi à densité, P(X = a) = 0 : un point isolé n’a pas d’aire. On peut donc remplacer ≤ par < aux bornes d’un intervalle sans changer la probabilité. Cela ne signifie pas qu’aucune valeur ne peut être observée. Le modèle attribue une probabilité aux plages de valeurs, tandis qu’un instrument donne une valeur arrondie correspondant à une petite plage. Une probabilité nulle n’est pas toujours synonyme d’impossibilité dans un modèle continu.

La fonction de répartition de X est F(x) = P(X ≤ x). Elle cumule l’aire située à gauche de x. Elle est croissante, prend des valeurs entre zéro et un et tend vers zéro très à gauche, vers un très à droite. Pour a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a), puisque les points isolés ont une probabilité nulle. La probabilité de dépasser b vaut 1 − F(b).

Pour la densité 2x sur [0 ; 1], F(x) vaut zéro si x < 0, x² si 0 ≤ x ≤ 1, puis un si x > 1. Écrire seulement x² sans préciser l’intervalle serait faux : une répartition ne peut pas croître au-delà de un. La densité et la répartition sont donc deux fonctions distinctes, avec des interprétations et des unités différentes. Là où F est dérivable et la densité continue, on retrouve F′ = f.

Lorsque les intégrales correspondantes existent, l’espérance est E(X) = ∫ x f(x) dx sur tout le support. Elle pondère chaque valeur par sa densité. La variance est V(X) = ∫ (x − E(X))²f(x) dx, ou E(X²) − E(X)². L’écart type est la racine carrée de la variance. Une espérance exprimée en minutes et un écart type en minutes peuvent se comparer à des durées ; la variance s’exprime en minutes carrées.

Avec f(x) = 2x sur [0 ; 1], E(X) est l’intégrale de 2x², donc 2/3. Le second moment E(X²) est l’intégrale de 2x³, donc 1/2. La variance vaut 1/2 − (2/3)² = 1/18. Le résultat positif constitue un contrôle utile : une variance négative révèle une erreur de calcul. L’espérance n’est pas forcément le milieu du support, car les valeurs proches de un ont ici davantage de poids.

Une variable X suit la loi uniforme sur [a ; b], avec a < b, lorsque sa densité est constante et vaut 1/(b − a) sur cet intervalle, zéro ailleurs. Des sous-intervalles de même longueur ont alors la même probabilité, dès lors qu’ils restent dans le support. Pour a ≤ c ≤ d ≤ b, P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a). C’est un rapport de longueurs.

La répartition est nulle avant a, vaut (x − a)/(b − a) entre a et b, puis vaut un après b. L’espérance est (a + b)/2 et la variance est (b − a)²/12. La symétrie autour du milieu explique la moyenne. Si l’intervalle s’élargit, la densité diminue pour conserver une aire totale égale à un, tandis que la dispersion augmente. La hauteur seule ne suffit donc pas à comparer des probabilités.

Le modèle peut convenir à l’attente d’un passage exactement périodique si l’instant d’arrivée est uniforme dans une période et indépendant du passage. Si les intervalles entre passages varient, cette justification ne tient plus telle quelle. Il faut distinguer la commodité d’une formule et la pertinence du modèle pour les données observées.

Une variable T suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 lorsque sa densité vaut λ exp(−λt) pour t ≥ 0 et zéro pour t < 0. Ici λ est une constante ; le symbole t mesure la durée. La densité est positive. Son intégrale entre zéro et b vaut 1 − exp(−λb), qui tend vers un lorsque b augmente sans borne. C’est donc bien une densité.

Pour t ≥ 0, la répartition vaut P(T ≤ t) = 1 − exp(−λt). La probabilité de survie ou de dépassement vaut P(T > t) = exp(−λt). L’espérance est E(T) = 1/λ et la variance est 1/λ². Si le temps est en heures, λ s’exprime par heure. Un paramètre plus grand signifie une attente moyenne plus courte ; le paramètre n’est pas lui-même une probabilité.

Plus généralement, pour s et t positifs ou nuls, P(T > s + t | T > s) = exp(−λt). C’est l’absence de mémoire. La durée déjà écoulée ne change pas la loi de l’attente restante dans ce modèle. Cette propriété ne convient pas à tous les phénomènes : l’usure d’une pièce ou l’arrivée programmée d’un véhicule peuvent modifier les probabilités restantes.

Poursuis dans S’entraîner, à l’adresse /exercices. Pour reprendre les calculs, revois primitives et intégration ; pour comparer des observations réelles à un modèle, continue avec les statistiques à deux variables.