Analyser des données par croisement

Un tableau croisé décrit simultanément deux caractères observés sur les mêmes individus. Par exemple, on peut relever le mode de déplacement et le fait d’arriver à l’heure. Les lignes correspondent aux modalités d’un caractère et les colonnes à celles de l’autre. Chaque case intérieure compte les individus qui satisfont les deux conditions. Avant tout calcul, on précise la population, la période et les règles de classement : une même personne ne doit pas être comptée dans plusieurs cases incompatibles.

Les effectifs marginaux sont les totaux des lignes et des colonnes. Le total général N doit être retrouvé par addition de toutes les lignes aussi bien que par addition de toutes les colonnes. Une ligne de total n’est pas une modalité supplémentaire. Une case vide n’est pas nécessairement un zéro : elle peut désigner une donnée absente. Il faut consulter les conventions du tableau avant de calculer une proportion.

Considérons 200 élèves, répartis entre le bus et la marche. Parmi les 80 usagers du bus, 20 sont en retard et 60 à l’heure. Parmi les 120 marcheurs, 12 sont en retard et 108 à l’heure. Le tableau comporte donc quatre cases intérieures. Ses marges donnent 32 retards et 168 arrivées à l’heure. Les données ne concernent que cette observation ; elles ne décrivent pas automatiquement toutes les journées de l’année.

Si A et B désignent deux événements, la fréquence conjointe correspond à la proportion qui réalise A et B dans toute la population. Elle s’écrit effectif de l’intersection divisé par N. La fréquence conditionnelle de B sachant A utilise au contraire l’effectif de A au dénominateur, supposé non nul. Dans un modèle probabiliste, on écrit P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A). Le tableau rend ce changement de référence visible.

La fréquence de retard parmi les marcheurs est 12/120 = 0,10. On compare donc 25 % et 10 %, et non simplement 20 retards et 12 retards. Comparer seulement les effectifs bruts serait trompeur quand les groupes n’ont pas la même taille. L’écart de ces proportions est de quinze points de pourcentage. Dire « quinze pour cent de plus » aurait un autre sens : l’augmentation relative de 10 % à 25 % vaut 150 %.

La fréquence globale de retard est une moyenne pondérée des fréquences conditionnelles : (80/200) × 0,25 + (120/200) × 0,10 = 0,16. Les poids sont les proportions des groupes dans la population. La moyenne simple des deux taux donnerait 0,175 ; elle serait incorrecte ici, car elle donnerait artificiellement le même poids à deux groupes de tailles différentes.

Inverser le conditionnement change encore la question. Parmi les élèves en retard, la proportion d’usagers du bus vaut 20/32 = 0,625. Ce taux de 62,5 % n’est ni 25 % ni 10 %. Pour éviter une confusion, on peut écrire une phrase avant chaque division : « Je compte les usagers du bus à l’intérieur du groupe des élèves en retard. » Le groupe qui suit « à l’intérieur » fixe alors le dénominateur.

Dans une population décrite exactement par le tableau, les caractères sont indépendants si la connaissance d’une modalité du premier ne modifie pas les proportions du second. Pour deux événements de probabilités non nulles, cela équivaut à P(B | A) = P(B), ou encore P(A ∩ B) = P(A)P(B). Un écart entre ces quantités indique une association dans les données. Il ne suffit pas à démontrer un mécanisme causal.

L’association observée peut avoir plusieurs explications. Les élèves qui prennent le bus peuvent habiter plus loin, dépendre d’horaires différents ou fréquenter un établissement distinct. Ces facteurs peuvent influencer le retard et le choix du déplacement. Le tableau seul ne permet pas d’affirmer que remplacer le bus par la marche réduirait les retards des mêmes élèves. Une comparaison descriptive ne remplace pas un protocole permettant d’étudier une cause.

Si les 200 élèves constituent un échantillon, les fréquences fluctuent d’un échantillon à l’autre. Un petit écart n’établit donc pas automatiquement une association dans toute la population dont l’échantillon est issu. Il faut examiner le mode de sélection, la taille des groupes et les données manquantes. Un grand échantillon mal sélectionné peut rester biaisé : augmenter l’effectif ne corrige pas une absence systématique de certains profils.

Un troisième caractère peut modifier l’interprétation d’un tableau à deux entrées. Supposons que l’on compare deux méthodes de préparation A et B, utilisées sur des tâches faciles ou difficiles. Les groupes ne contiennent pas les mêmes proportions de tâches de chaque difficulté. Il faut donc lire les taux par difficulté avant de regarder les résultats regroupés. Un taux global mélange à la fois la réussite dans chaque catégorie et la composition des groupes.

Le phénomène ne signifie pas que les calculs globaux sont faux : ils répondent à une autre question. Pour prévoir le taux d’une population ayant la même composition, le taux global peut être pertinent. Pour comparer les méthodes à difficulté comparable, les taux par catégorie sont plus informatifs. Une conclusion doit donc préciser la population et la question auxquelles elle se rapporte.

Pour continuer, ouvre S’entraîner à l’adresse /exercices. Les probabilités conditionnelles donnent le langage de ces tableaux ; l’étude statistique permet ensuite d’examiner comment la qualité d’une collecte limite ce que l’on peut conclure.