Probabilités conditionnelles

Une probabilité dépend de l’univers dans lequel on choisit au hasard. Dire qu’une pièce est défectueuse parmi toutes les pièces produites et le dire parmi celles d’un atelier particulier sont deux informations différentes. Conditionner par un événement A signifie ne garder que les cas où A est réalisé, puis recalculer les proportions à l’intérieur de ce groupe. Cette restriction change le dénominateur, même si l’événement observé conserve le même nom.

Si P(A) > 0, la probabilité de B sachant A est Pₐ(B) = P(A ∩ B)/P(A). On peut aussi écrire P(B | A). Le symbole ∩ signifie que les deux événements sont réalisés simultanément. Par exemple, si 30 élèves sur 100 pratiquent un sport et si 12 de ces 30 pratiquent aussi la musique, la probabilité de pratiquer la musique sachant que l’on pratique un sport est 12/30 = 0,4, à condition que le choix soit uniforme parmi les élèves.

La probabilité de l’intersection est alors 12/100 = 0,12. Elle ne répond pas à la même question. Dans une phrase contenant « parmi », le groupe qui suit ce mot fournit souvent le conditionnement. Avant de calculer, reformule donc l’énoncé en donnant le groupe de départ. Une probabilité conditionnelle reste un nombre compris entre zéro et un ; elle n’existe pas avec cette définition si l’événement conditionnant a une probabilité nulle.

La formule précédente se réécrit P(A ∩ B) = P(A)Pₐ(B). Sur un arbre pondéré, le premier étage donne P(A) et P(Ā), où Ā désigne l’événement contraire de A. Au deuxième étage, chaque branche porte une probabilité conditionnelle correspondant au nœud dont elle part. Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont une somme égale à un. Celles de nœuds différents ne sont pas à additionner comme si elles formaient une seule répartition.

Pour calculer la probabilité d’un chemin complet, on multiplie ses poids. Pour réunir plusieurs chemins incompatibles, on additionne leurs probabilités. Le mot « incompatibles » signifie qu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Si A et Ā forment les deux premiers groupes, les événements A ∩ B et Ā ∩ B couvrent tous les cas de B sans se chevaucher. On obtient la formule des probabilités totales : P(B) = P(A)Pₐ(B) + P(Ā)PĀ(B).

On peut étendre ce calcul à plusieurs groupes disjoints qui couvrent tout l’univers. C’est utile pour un réseau d’ateliers ou des classes d’âge. La moyenne des taux propres aux groupes doit être pondérée par leurs tailles relatives. Une moyenne simple des taux serait justifiée seulement si les groupes ont le même poids. Le tableau d’effectifs et l’arbre sont deux représentations du même calcul ; choisir l’un n’interdit pas de contrôler avec l’autre.

On connaît parfois la fréquence d’un indice dans chaque groupe, mais on cherche le groupe d’origine après observation de cet indice. C’est une inversion du conditionnement. Pour P(B) > 0, Pᵦ(A) = P(A)Pₐ(B)/P(B). Le numérateur représente les cas qui réalisent à la fois A et B ; le dénominateur représente tous les cas de B. Cette identité est la formule de Bayes. Elle n’invente aucune information supplémentaire : elle réorganise les mêmes intersections.

Dans l’exemple des ateliers, 40 % des pièces viennent de A avant toute observation. Après avoir constaté un défaut, on ne regarde plus que les 70 pièces défectueuses du stock représentatif. Parmi elles, 40 viennent de A. La probabilité de cette origine augmente, car A présente un taux de défaut supérieur à B. Elle n’atteint pas un : B peut également produire un défaut. Une observation modifie une probabilité sans apporter nécessairement une certitude.

La valeur initiale P(A) est parfois appelée probabilité a priori ; Pᵦ(A), obtenue après observation de B, est la probabilité a posteriori. Ces mots décrivent l’ordre de l’information, pas un jugement de valeur. Une formule de Bayes dépend de la population choisie. Transporter un résultat vers une autre population sans changer les poids initiaux peut donner une conclusion erronée.

Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A)P(B). Lorsque P(A) > 0, cela équivaut à Pₐ(B) = P(B) : apprendre que A est réalisé ne modifie pas la probabilité de B. L’indépendance est symétrique, même si une probabilité conditionnelle paraît orientée. Pour la prouver avec un tableau, on compare un taux conditionnel au taux global, ou l’intersection au produit des probabilités.

L’indépendance ne signifie pas l’incompatibilité. Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ont une intersection de probabilité nulle, alors que le produit de leurs probabilités est strictement positif : ils ne sont pas indépendants. Si un événement a une probabilité nulle, il est indépendant de tout événement au sens de la formule du produit, mais on ne conditionne pas par lui avec la formule élémentaire.

Pour deux tirages avec remise dans une urne, le modèle usuel considère que la composition est rétablie et que chaque tirage est effectué au hasard indépendamment du précédent. Sans remise, la composition change et les probabilités conditionnelles peuvent changer. Le mot « hasard » ne suffit donc pas à établir l’indépendance. Il faut analyser la procédure, ou disposer d’une hypothèse explicite dans l’énoncé.

Poursuis dans S’entraîner à l’adresse /exercices. Pour aller vers les répétitions d’expériences, garde la différence entre un tirage isolé et plusieurs tirages indépendants. Les mêmes outils permettront de compter des succès et d’interpréter les informations apportées par une observation.