Primitives et intégration

Tu sais calculer la dérivée d’une fonction pour décrire sa variation instantanée. Le problème inverse consiste à retrouver une fonction à partir de sa dérivée. Sur un intervalle I, une primitive de f est une fonction F dérivable telle que F′(x) = f(x) pour tout x de I. Par exemple, x² est une primitive de 2x. Mais x² + 7 en est une autre, puisque la dérivée d’une constante est nulle. Chercher une primitive ne revient donc pas à trouver une unique formule.

Si F et G sont deux primitives de la même fonction sur un intervalle, alors (F − G)′ = 0. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : G = F + C. Cette propriété explique la famille entière des primitives. L’intervalle est essentiel : on ne doit pas relier sans précaution des formules définies sur des morceaux séparés par une valeur interdite. Une condition comme G(0) = 5 permet ensuite de déterminer la constante.

Les dérivées usuelles donnent les primitives usuelles. Pour un entier n ≥ 0, une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n + 1). Sur ]0 ; +∞[, une primitive de 1/x est ln(x). Une primitive de eˣ est eˣ. On peut additionner des primitives et les multiplier par un réel. En revanche, multiplier deux primitives ne donne généralement pas une primitive du produit : il faut toujours vérifier en dérivant le résultat proposé.

La reconnaissance de formes composées évite des calculs inutiles. Une primitive de 2u′u est u² ; une primitive de u′eᵘ est eᵘ ; si u est strictement positive, une primitive de u′/u est ln(u). Par exemple, la dérivée de e²ˣ est 2e²ˣ, donc une primitive de e²ˣ est e²ˣ/2. Le facteur 1/2 compense exactement le facteur 2 introduit par la dérivation.

Soit f continue et positive ou nulle sur [a ; b], avec a < b. L’intégrale de a à b de f, notée ∫ₐᵇ f(x) dx, est l’aire située entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Elle est exprimée en unités d’aire dans le repère choisi. Le symbole x est une variable de calcul : la remplacer par t dans toute l’expression ne change pas le nombre obtenu.

Le lien entre aire et primitive donne une méthode exacte. Pour une fonction f continue, la fonction A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt a pour dérivée f. Lorsque f est positive et croissante, une petite augmentation h > 0 de x ajoute une bande d’aire comprise entre hf(x) et hf(x + h). En divisant par h puis en faisant tendre h vers zéro, la continuité donne A′(x) = f(x). Le résultat général est admis ici.

Toute primitive F de f permet ainsi de calculer ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La constante disparaît dans la différence. Le résultat est un nombre, tandis que F est une fonction. Si f change de signe, les zones au-dessus de l’axe contribuent positivement et celles au-dessous négativement. Une intégrale nulle peut donc masquer deux aires non nulles qui se compensent. Pour une aire géométrique, on découpe aux changements de signe.

La relation de Chasles exprime l’addition des accumulations : pour a ≤ c ≤ b, l’intégrale de a à b est la somme de l’intégrale de a à c et de l’intégrale de c à b. L’intégrale est aussi linéaire : l’intégrale de αf + βg est α fois celle de f plus β fois celle de g. Les bornes doivent rester les mêmes dans cette dernière propriété. Inverser les bornes change le signe ; intégrer entre deux bornes identiques donne zéro.

Si f(x) ≤ g(x) pour tout x de [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g. Si m ≤ f(x) ≤ M, l’intégrale est donc comprise entre m(b − a) et M(b − a). Cet encadrement sert à vérifier un calcul. Pour l’aire entre deux courbes, on intègre la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Si leurs positions s’inversent, on commence par rechercher leurs intersections puis on découpe l’intervalle.

Pour approcher une intégrale, on découpe [a ; b] en n intervalles de même largeur h = (b − a)/n. La somme à gauche est h[f(a) + f(a + h) + … + f(a + (n − 1)h)]. Pour une fonction croissante, elle minore l’intégrale ; la somme à droite la majore. Sans monotonie, ces deux sommes ne donnent pas automatiquement un encadrement. Le calcul numérique approche une quantité ; il ne remplace pas une justification du sens de l’inégalité.

Sur [0 ; 2], pour f(x) = x² et quatre rectangles, la somme à gauche est 0,5 × (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75. La somme à droite vaut 0,5 × (0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 3,75. L’intégrale exacte vaut 8/3, bien entre les deux. En doublant le nombre de rectangles, les écarts se réduisent. Un programme peut accumuler les hauteurs dans une boucle puis multiplier la somme par h.

La valeur moyenne de f sur [a ; b], avec a < b, est μ = ∫ₐᵇ f(x) dx / (b − a). Si f est positive, le rectangle de largeur b − a et de hauteur μ a la même aire que la région sous la courbe. Cette moyenne n’est généralement pas la moyenne des seules valeurs aux extrémités. Elle tient compte de toutes les valeurs de la fonction et de la durée pendant laquelle elles interviennent.

Les unités permettent de contrôler le raisonnement. Si un débit est mesuré en litres par minute et le temps en minutes, son intégrale est un volume en litres. Diviser ce volume par la durée redonne un débit moyen en litres par minute. Si m ≤ f ≤ M, sa valeur moyenne est comprise entre m et M. Une moyenne hors de ces bornes révèle une erreur de formule, de calcul ou d’unité.

Pour poursuivre ton entraînement, ouvre S’entraîner, puis le hub Exercices du site, à l’adresse /exercices. Revois d’abord la dérivation si la vérification d’une primitive te bloque. Tu retrouveras ensuite les intégrales dans les probabilités associées à une densité.