Logarithme et mesures de richesse

Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l’unique réel y tel que eʸ = x. Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle. On a donc e^(ln x) = x pour x > 0 et ln(eʸ) = y pour tout réel y. En particulier, ln(1) = 0 et ln(e) = 1. Le logarithme réel de zéro ou d’un nombre négatif n’est pas défini. Le domaine doit être établi avant de résoudre une équation ou de dériver une expression contenant ln.

Pour a et b strictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) − ln(b), et ln(aⁿ) = n ln(a) pour un entier n. La première propriété découle de la loi de l’exponentielle : e^(ln a + ln b) = ab ; l’unicité de l’antécédent donne le résultat. Il n’existe pas de règle analogue transformant ln(a + b) en ln(a) + ln(b). Les conditions de positivité sont nécessaires, même lorsqu’une simplification finale paraît possible.

La dérivée de ln(x) est 1/x sur ]0,+∞[. Elle est strictement positive : ln est strictement croissante. Sa dérivée seconde est −1/x², donc ln est concave. La fonction tend vers −∞ quand x tend vers zéro par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞. La croissance reste illimitée malgré une pente qui tend vers zéro. Pour une fonction u dérivable et strictement positive, (ln u)′ = u′/u. Ainsi ln(2x + 1) est définie pour x > −1/2 et sa dérivée vaut 2/(2x + 1).

Les tables de logarithmes ont répondu à un besoin de calcul avant les calculatrices : remplacer une multiplication par une addition de valeurs tabulées, puis revenir au résultat par une opération inverse. Le rapprochement entre progression géométrique et progression arithmétique illustre cette idée : à 1, q, q², q³ correspondent 0, ln(q), 2 ln(q), 3 ln(q). Les travaux de Neper appartiennent à cette histoire ; les conventions historiques ne sont pas toutes identiques à notre définition moderne du logarithme népérien.

Un autre point de vue relie ln(x), pour x ≥ 1, à l’aire sous l’hyperbole y = 1/t entre 1 et x : ln(x) = ∫₁ˣ dt/t. Cette relation permet une approximation par rectangles ou trapèzes. Elle relie une fonction définie comme réciproque à un calcul d’aire, sans faire disparaître les conditions de domaine. Pour 0 < x < 1, l’intégrale orientée devient négative, conformément au signe du logarithme. Une aire géométrique ordinaire reste positive ; c’est l’orientation des bornes qui porte le signe.

La moyenne additionne les montants puis divise par l’effectif ; elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane partage les personnes classées en deux groupes de même effectif. Les quartiles et déciles sont des seuils de classement, pas des parts de la somme totale. Si D1 est strictement positif, le rapport interdécile D9/D1 compare deux seuils. Il ne compare pas directement la somme reçue par les 10 % les plus aisés à celle reçue par les 10 % les plus modestes.

Une comparaison exige de préciser la variable : salaire, revenu disponible, niveau de vie et patrimoine ne sont pas interchangeables. Le niveau de vie rapporte le revenu disponible du ménage à ses unités de consommation pour tenir compte de sa composition. Une évolution en euros constants tient compte de l’inflation. Prendre ln d’un rapport de montants positifs, par exemple ln(Rfinal/Rinitial), mesure une variation multiplicative et ne dépend pas du choix euros ou milliers d’euros. Prendre un logarithme ne corrige toutefois ni un changement de champ statistique ni une erreur de mesure.

Données Insee, France métropolitaine, 2023 : les parts cumulées de la somme des niveaux de vie sont de 8,5 % pour les 20 % les plus modestes, 30,3 % pour les 50 % et 61,5 % pour les 80 %. Champ : logements ordinaires, ménages au revenu déclaré non négatif dont la personne de référence n’est pas étudiante. Source : Insee, Niveaux de vie, publication du 18 novembre 2025. Ces observations datées servent à construire la figure ; elles ne décrivent pas le patrimoine.

Une courbe de Lorenz L(p) associe à une proportion cumulée p des individus, classés du moins au plus doté, la part cumulée de la quantité étudiée. Pour une distribution non négative de total strictement positif, L(0) = 0 et L(1) = 1. La courbe est croissante et convexe, et reste sous la droite d’égalité L(p) = p. Plus elle s’en éloigne vers le bas, plus la concentration est marquée. Si deux courbes se croisent, leur classement global exige de préciser le critère choisi.

L’indice de Gini est lié à l’aire entre la droite d’égalité et la courbe de Lorenz. Dans le modèle continu, G = 1 − 2∫₀¹ L(p) dp. Une répartition parfaitement égale donne L(p) = p, une aire sous la courbe de 1/2 et G = 0. Une concentration plus forte diminue l’aire sous L et augmente G. Ce nombre résume une distribution sans identifier chaque montant ; deux répartitions différentes peuvent partager le même indice. Il ne constitue donc pas une description complète de la situation sociale.

Relier quelques points statistiques par des segments donne une approximation polygonale. Son aire se calcule en additionnant les aires de trapèzes : largeur multipliée par la moyenne des deux hauteurs. Cette approximation ne permet pas de retrouver exactement l’indice officiel calculé sur une distribution plus détaillée. Les valeurs intermédiaires sont interpolées, pas observées. Cette distinction est essentielle lorsque l’on compare un calcul de classe à un indicateur publié.

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