Continuité et convexité

Une fonction est continue en un point lorsque sa valeur y coïncide avec la limite de la fonction quand on s’approche de ce point dans son domaine. Intuitivement, la courbe ne présente pas de saut à cet endroit. Il faut distinguer la valeur f(a), si elle existe, et les valeurs voisines. Une expression définie seulement pour x > 0 peut avoir une limite en zéro sans y être définie. On parle alors de continuité sur son domaine, pas automatiquement d’une valeur au point exclu.

Les fonctions polynomiales sont continues sur les réels ; la fonction inverse est continue sur chacun des intervalles où elle est définie. Une fonction dérivable sur un intervalle y est continue. La réciproque est fausse : la fonction valeur absolue est continue en zéro mais n’y est pas dérivable, car les pentes à gauche et à droite diffèrent. Une pointe dans une courbe ne suffit donc pas à conclure à une discontinuité.

Une limite peut aussi décrire un comportement près d’une borne infinie ou exclue. Pour 1/x, quand x tend vers zéro par valeurs positives, la fonction tend vers +∞ ; par valeurs négatives, elle tend vers −∞. La droite x = 0 est une asymptote verticale. Quand x tend vers +∞, 1/x tend vers zéro, ce qui donne une asymptote horizontale. Ces observations ne signifient pas que la fonction prend une valeur infinie ni qu’elle atteint zéro.

Le théorème des valeurs intermédiaires affirme qu’une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b] prend toute valeur comprise entre f(a) et f(b). Pour prouver l’existence d’une solution de f(x) = k, on identifie donc un intervalle de continuité et on vérifie que k se trouve entre les images des bornes. Le théorème garantit au moins une solution ; il ne garantit pas qu’il n’y en a qu’une. Si la fonction est en plus strictement monotone sur cet intervalle, cette solution est unique.

La dichotomie transforme la preuve d’existence en encadrements successifs. Partant d’un intervalle où une fonction continue change de signe, on calcule le milieu et sa valeur. Si celle-ci est nulle, la recherche s’arrête. Sinon, on conserve une moitié où les valeurs aux bornes ont des signes opposés. La longueur de l’intervalle est divisée par deux à chaque étape. Après n divisions d’un intervalle initial de longueur b − a, sa longueur vaut (b − a)/2ⁿ. Cette méthode donne un encadrement garanti, sous les hypothèses annoncées.

Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe se situe au-dessous de chaque corde reliant deux de ses points. Une corde est le segment entre ces points, et non toute la droite sécante à l’extérieur du segment. Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut aussi à être au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle. Une fonction concave vérifie les positions inverses : au-dessus des cordes et au-dessous des tangentes. La couleur ou l’orientation générale du dessin ne définit pas la convexité.

Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut à la croissance de f′. Si la fonction est deux fois dérivable, on peut utiliser f″ ≥ 0 pour établir la convexité, et f″ ≤ 0 pour établir la concavité. La dérivée seconde décrit la variation de la pente. Elle ne donne pas directement le sens de variation de f : une fonction peut être décroissante et convexe, comme e^(−x), dont la dérivée est négative et la dérivée seconde positive.

Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité. Lorsque la dérivée seconde change de signe de part et d’autre d’un point où les conditions de régularité sont satisfaites, ce point est un point d’inflexion. La seule égalité f″(a) = 0 n’est pas suffisante. Pour f(x) = x⁴, f″(x) = 12x² s’annule en zéro mais reste positive de chaque côté : la fonction demeure convexe, sans point d’inflexion en zéro.

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a). Elle donne une approximation locale. Si f est convexe sur l’intervalle, cette tangente fournit aussi une minoration globale sur cet intervalle : f(x) ≥ f(a) + f′(a)(x − a). La propriété de convexité transforme donc une information locale de pente en une comparaison sur tout l’intervalle. Pour une fonction concave, on obtient une majoration.

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle associe à chaque valeur de son image un unique antécédent. On peut ainsi définir sa fonction réciproque. Sur [0,+∞[, la fonction carré a pour réciproque la racine carrée ; sur tous les réels, la fonction carré n’est pas injective et cette réciproque unique n’existe pas. Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite y = x. L’exponentielle et le logarithme fournissent un autre exemple important.

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