Optimiser avec des fonctions

Commencer par définir la variable et le domaine. Si x représente une longueur, elle ne peut pas être négative. Si x représente un nombre de pièces, les valeurs réalisables sont entières, même si une fonction définie sur les réels facilite l’étude. Les contraintes peuvent créer un intervalle fermé, un intervalle ouvert ou un ensemble discret. Elles sont partie intégrante du problème. Une valeur située hors du domaine n’est jamais une solution admissible, même si elle annule la dérivée.

L’objectif peut être une aire, un coût total, un coût moyen ou un bénéfice. Ces grandeurs ne s’optimisent pas nécessairement pour la même valeur. Si C(x) est un coût total et R(x) une recette, le bénéfice vaut B(x) = R(x) − C(x). Si x > 0, le coût moyen vaut M(x) = C(x)/x. La division par x introduit une restriction de domaine. On ne doit pas remplacer un objectif par un autre simplement parce que sa formule paraît plus courte.

Un maximum global sur un ensemble signifie que toutes les autres valeurs de la fonction sur cet ensemble sont inférieures ou égales. Un maximum local compare seulement les valeurs proches. Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint un minimum et un maximum. Sur un intervalle ouvert, une borne peut être approchée sans être atteinte : la fonction x sur ]0,1[ n’a pas de maximum, bien qu’elle reste inférieure à 1. Le vocabulaire doit distinguer valeur maximale et borne supérieure.

La dérivée f′(x) représente le taux de variation instantané. Sur un intervalle, si f′ est positive ou nulle, f est croissante ; si f′ est négative ou nulle, f est décroissante. Une dérivée strictement positive ou strictement négative assure une variation stricte. Pour établir un maximum intérieur, un changement de signe de f′ de positif à négatif est déterminant. Une valeur où f′ s’annule est seulement un candidat : la fonction cube a une dérivée nulle en zéro sans présenter d’extrémum en ce point.

Les règles de dérivation évitent de raisonner uniquement sur le graphique. Pour des fonctions dérivables, (uv)′ = u′v + uv′ et (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² lorsque v ne s’annule pas. Une composition affine vérifie (f(ax + b))′ = a f′(ax + b). On utilise aussi (eᵘ)′ = u′eᵘ et (ln u)′ = u′/u là où u est strictement positive. Chaque règle s’accompagne de ses conditions de définition ; une simplification algébrique ne permet pas d’ajouter un point initialement exclu sans justification.

Un coût fixe se répartit sur la quantité produite ; cela peut faire baisser le coût moyen au début, même si le coût total augmente. Ensuite, un coût marginal croissant peut inverser la tendance. La dérivée du coût total décrit une variation infinitésimale : elle approche le coût d’une unité supplémentaire lorsque le modèle et l’échelle le permettent, mais n’est pas exactement C(x + 1) − C(x) dans tous les cas. La définition de x et son unité doivent rester cohérentes jusqu’à la conclusion.

Pour M(x) = C(x)/x avec x > 0, la formule du quotient donne M′(x) = [xC′(x) − C(x)]/x². Au point intérieur où M′ s’annule, on obtient C′(x) = C(x)/x = M(x). Cette égalité est une condition candidate ; le tableau de signes et les contraintes permettent de conclure à un minimum. Elle montre le lien entre coût marginal et coût moyen sans imposer que tout modèle économique réel satisfasse des hypothèses de régularité parfaites.

Une contrainte supplémentaire peut aussi supprimer tout optimum ou changer la variable pertinente. Avant d’interpréter une réponse, revenir aux conditions matérielles : dimensions strictement positives, capacité maximale, budget, nombres entiers. Si les données sont approchées, une précision excessive dans la décision peut être trompeuse. On peut comparer l’objectif pour plusieurs valeurs voisines pour évaluer la sensibilité : une courbe très plate près du maximum rend des choix proches presque équivalents, tandis qu’une variation rapide impose davantage de précision.

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