Modèles d’évolution discrets

Avant toute formule, définir uₙ et la date correspondante. Le terme u₀ représente généralement l’état initial ; u₁ est obtenu après une évolution. Si l’énoncé commence au rang 1, les exposants et le nombre de termes doivent être adaptés. Une formule explicite donne directement uₙ à partir de n. Une relation de récurrence donne un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents et nécessite un état initial. Sans cet état initial, une même règle d’évolution décrit plusieurs trajectoires possibles.

Une augmentation constante r à chaque étape conduit à uₙ₊₁ = uₙ + r : la suite est arithmétique et uₙ = u₀ + nr. Une variation relative constante conduit à uₙ₊₁ = quₙ : la suite est géométrique et uₙ = u₀qⁿ. Pour une hausse de 3 %, q = 1,03 ; pour une baisse de 3 %, q = 0,97. Une baisse de 3 % suivie d’une hausse de 3 % ne ramène pas à la valeur initiale, car les deux pourcentages portent sur des bases différentes.

Une récurrence arithmético-géométrique a la forme uₙ₊₁ = auₙ + b. Elle combine un effet proportionnel et un apport constant. L’ordre des opérations compte : enlever 20 % puis ajouter 40 donne 0,8uₙ + 40 ; ajouter 40 puis enlever 20 % donne 0,8uₙ + 32. Une phrase du problème doit donc être traduite dans son ordre chronologique. Les coefficients a et b sont constants dans le modèle étudié.

Si a ≠ 1, on cherche une valeur constante L vérifiant L = aL + b. On obtient L = b/(1 − a). Posons vₙ = uₙ − L. Alors vₙ₊₁ = auₙ + b − L = a(uₙ − L) = avₙ. Cette nouvelle suite est géométrique, donc vₙ = (u₀ − L)aⁿ et uₙ = L + (u₀ − L)aⁿ. Il ne suffit pas de trouver L pour annoncer une convergence : la puissance aⁿ et l’état initial déterminent le comportement.

Une suite tend vers une limite finie L lorsque ses termes finissent par rester aussi proches que souhaité de L. Elle tend vers +∞ lorsque ses termes finissent par dépasser n’importe quel seuil fixé. Une hausse continue ne signifie pas forcément divergence : la suite du stock augmente tout en restant sous 200. Inversement, une suite peut ne pas avoir de limite. Quelques valeurs sur une calculatrice permettent une conjecture, mais ne remplacent pas un raisonnement portant sur tous les rangs.

Pour une raison q strictement positive, qⁿ tend vers zéro si 0 < q < 1, reste égal à un si q = 1 et tend vers +∞ si q > 1. Pour u₀qⁿ, le signe de u₀ compte : si u₀ est négatif et q > 1, la limite est −∞ ; si u₀ = 0, la suite est nulle. Le cas q = 0 donne des termes nuls dès le rang 1. Les raisons négatives peuvent produire des alternances ; elles ne sont pas nécessaires aux modèles positifs étudiés ici.

Les opérations sur les limites permettent par exemple de déduire que 200 − 100 × 0,8ⁿ tend vers 200. Le passage à la limite préserve les inégalités larges : si uₙ ≤ vₙ et si les limites sont finies, alors lim uₙ ≤ lim vₙ. Une inégalité stricte peut devenir une égalité à la limite. Si une quantité est encadrée entre deux suites de même limite, elle a cette limite : c’est le principe des gendarmes. Ainsi 0 ≤ wₙ ≤ 5 × 0,7ⁿ implique wₙ → 0.

Une somme cumulée est une nouvelle suite. Pour Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ, il y a n + 1 termes. Si uₖ = u₀qᵏ et q ≠ 1, multiplier la somme par q puis soustraire fait disparaître les termes intermédiaires : (1 − q)Sₙ = u₀(1 − qⁿ⁺¹). Donc Sₙ = u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Lorsque 0 < q < 1, la limite de Sₙ vaut u₀/(1 − q). Une suite de termes qui tend vers zéro peut ainsi avoir une somme cumulée non nulle.

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