Modèles d’évolution continus

Dans y′ = ay + b, l’inconnue est une fonction y, et non un nombre. Une solution doit être dérivable sur l’intervalle étudié et vérifier la relation à chaque instant. Si t est en heures et y en litres, y′ s’exprime en litres par heure ; a s’exprime en inverse d’heures et b en litres par heure. Les coefficients portent donc un sens physique. Le terme ay décrit un apport ou une perte proportionnels à la quantité présente ; b représente un apport constant, positif ou négatif selon le modèle.

Une condition initiale, telle que y(0) = 100, choisit une trajectoire parmi les solutions. Vérifier une solution exige deux contrôles distincts : dériver la fonction et comparer au second membre, puis vérifier sa valeur initiale. Une fonction peut satisfaire l’équation différentielle tout en ne répondant pas à l’état initial demandé. Il faut également tenir compte du domaine : un volume calculé négatif rend un modèle de réservoir inadapté après sa vidange, même si la formule reste mathématiquement définie.

Lorsque a = 0, l’équation devient y′ = b. Les solutions sont y(t) = bt + K, où K est une constante. Plus généralement, résoudre y′ = g(t) revient à chercher une primitive de g. Deux primitives sur un même intervalle diffèrent d’une constante, car leur différence a une dérivée nulle. On vérifie une primitive en dérivant : par exemple, une primitive de 3t² est t³, et les autres sont t³ + K. La constante se détermine à partir d’une valeur connue.

Les solutions de y′ = ay sont y(t) = Ke^(at). La vérification est directe : la dérivée vaut aKe^(at), donc ay(t). Pour comprendre pourquoi cette famille décrit toutes les solutions, on considère z(t) = y(t)e^(−at). Sa dérivée vaut e^(−at)(y′ − ay), donc zéro. Ainsi z est constante et y(t) = Ke^(at). Ce raisonnement utilise seulement les règles de dérivation et le fait qu’une fonction de dérivée nulle est constante sur un intervalle.

Si y(0) = y₀, alors K = y₀. Pour une quantité initiale strictement positive, le signe de a détermine les variations : croissance si a > 0, décroissance si a < 0, constance si a = 0. L’exponentielle ne s’annule jamais. Avec a < 0, la quantité tend vers zéro sans l’atteindre à un instant fini ; avec a > 0, elle tend vers +∞. Cette croissance sans limite peut décrire une courte période, mais pas nécessairement un système réel dont les ressources sont limitées.

Pour a ≠ 0, une solution constante L vérifie 0 = aL + b, donc L = −b/a. On pose z = y − L. Comme L est constante, z′ = y′ = ay + b = a(y − L) = az. Ainsi y(t) = L + Ke^(at). Avec y(0) = y₀, K = y₀ − L. Le signe de a détermine si l’écart à l’équilibre diminue ou augmente. Lorsque a < 0, toutes les solutions tendent vers L ; lorsque a > 0, un écart initial non nul s’amplifie.

Observer une exponentielle toutes les h unités de temps donne une suite géométrique. En effet, y(t + h) = e^(ah)y(t) pour y′ = ay. Le facteur exact sur un pas vaut q = e^(ah), et a = ln(q)/h lorsque q > 0. Une hausse annuelle de 5 % correspond donc au coefficient continu ln(1,05) par an, et non exactement à 0,05. Les deux valeurs sont proches pour de petits taux mais leur distinction évite une erreur systématique.

La méthode d’Euler utilise l’approximation locale y(t + h) ≈ y(t) + hy′(t). Pour y′ = ay + b, elle conduit à Yₙ₊₁ = Yₙ + h(aYₙ + b), avec tₙ = nh. Yₙ est une approximation de y(tₙ), pas nécessairement sa valeur exacte. On avance suivant la pente au début de chaque intervalle. Un pas plus petit améliore généralement l’approximation sur une durée fixée pour ces équations régulières, au prix d’un plus grand nombre d’étapes.

Une équation logistique, par exemple y′ = ry(1 − y/K) avec r et K positifs, limite la croissance par un terme dépendant de la quantité. Elle illustre la différence entre une règle linéaire et une règle non linéaire. On peut en explorer les pentes et les équilibres, ou calculer des approximations numériques. La famille L + Ce^(at) ne s’y applique pas directement. Le choix d’un modèle dépend des mécanismes et des observations, pas de la seule facilité à résoudre son équation.

Poursuis dans l’espace S’entraîner du site. Choisis un exercice en lien avec les notions étudiées, cherche avant de consulter une correction, puis reviens au passage du cours qui explique ton erreur.