Asservir un système

La consigne est la valeur demandée à la sortie du système. Pour un entraînement motorisé, elle peut être une vitesse angulaire. Un capteur mesure une grandeur liée à la sortie et transmet cette information au comparateur. Le comparateur forme une différence entre la consigne et le retour de mesure. Le correcteur transforme cette différence en commande, appliquée au procédé par la chaîne de puissance. Le retour ferme ainsi la boucle.

Dans une chaîne directe sans mesure de retour, la commande dépend d’un réglage prévu pour certaines conditions. Si une charge supplémentaire ralentit le dispositif, ce réglage peut devenir insuffisant sans que la commande change. Avec un retour négatif, le ralentissement accroît l’erreur et provoque une action tendant à rétablir la sortie. Une perturbation est une influence extérieure au chemin de consigne : charge mécanique, variation d’alimentation ou température ambiante selon le système.

Les signaux comparés doivent représenter la même grandeur avec la même unité ou une conversion connue. On ne soustrait pas directement une consigne en radians par seconde et une tension de capteur. On peut convertir la tension en vitesse avant comparaison, ou convertir la consigne dans l’unité du retour. Dans la suite, le retour est exprimé directement dans l’unité de la sortie : on parle de retour unitaire. Cette hypothèse doit rester visible dans les équations.

Une erreur de signe est dangereuse pour l’analyse. Si une hausse de la sortie accroît encore la commande dans le même sens, le retour peut renforcer l’écart au lieu de le réduire. Le signe correct ne garantit toutefois pas automatiquement la stabilité : les retards et la dynamique des composants influencent aussi le comportement. Pour comprendre une boucle, suis une petite variation de sortie et déduis successivement son effet sur l’erreur, la commande et le procédé.

Un correcteur proportionnel produit une commande u = K ε, où ε est l’erreur et K le gain. L’unité de K dépend des unités de u et ε. Si u est une tension et ε une vitesse angulaire, K s’exprime en V·s·rad⁻¹. Doubler K double la commande pour une même erreur tant que l’actionneur et le correcteur restent dans leur domaine linéaire. Une saturation impose au contraire une limite à la commande.

Supposons qu’en régime permanent le procédé vérifie y = G u, avec un gain positif G, sans perturbation. Le retour unitaire donne ε = c − y. En remplaçant u par K(c − y), on obtient y = G K(c − y), puis y = G K c / (1 + G K). L’erreur statique vaut donc ε_s = c / (1 + G K). Ces relations portent sur un modèle de gain statique : elles ne décrivent pas seules la durée du transitoire.

Pour inclure une perturbation dans un modèle simple, écrivons y = G u − d, où d représente ici une diminution de sortie exprimée dans l’unité de y. Avec le même retour, y = (G K c − d)/(1 + G K) et ε_s = (c + d)/(1 + G K). Cette forme de perturbation est un choix de modélisation, pas une loi universelle. Une perturbation mécanique réelle doit être reliée à ce terme par le modèle du procédé.

La précision concerne l’écart entre la sortie et la valeur demandée, notamment après stabilisation. La rapidité concerne la durée de l’évolution vers le régime permanent. La stabilité concerne la capacité du système à ne pas développer une réponse divergente à partir d’une sollicitation bornée dans le cadre du modèle étudié. Ces critères sont distincts : une sortie peut se stabiliser rapidement à une mauvaise valeur ou atteindre la bonne valeur après de fortes oscillations.

Une réponse de premier ordre à un échelon peut s’écrire y(t) = y_inf + (y_0 − y_inf) exp(−t/τ), avec τ strictement positif. La constante τ caractérise la vitesse de convergence : après une durée τ, environ 63 % de la variation totale est réalisée. Pour une réponse monotone, le temps de réponse à 5 % de la variation totale vaut environ 3τ. Il correspond à l’entrée définitive dans la bande retenue, pas au premier franchissement d’une valeur.

Une réponse d’ordre supérieur peut présenter un dépassement et des oscillations. Une entrée dans la bande suivie d’une sortie ne marque pas le temps de réponse. Il faut examiner la suite du signal. Augmenter le gain proportionnel peut améliorer la précision statique, mais peut aussi renforcer les oscillations ou déstabiliser un système présentant certaines dynamiques et certains retards. La formule de l’erreur statique ne suffit donc jamais à choisir le gain.

Un réglage consiste à satisfaire plusieurs exigences : erreur maximale, délai admissible, dépassement acceptable, limites de commande et robustesse aux perturbations. Une simulation aide à explorer plusieurs gains sans multiplier les essais matériels risqués. L’essai final doit cependant utiliser les limites et la chaîne de mesure réelles. Si l’actionneur sature, la prédiction du modèle linéaire peut devenir inexacte ; il faut le signaler plutôt que poursuivre un calcul comme si la commande pouvait augmenter indéfiniment.

S’entraîner : poursuis dans /exercices avec une lecture de réponse temporelle avant de comparer deux réglages.