Mesures et incertitudes

Le mesurande est la grandeur que l’on souhaite mesurer, définie avec ses conditions : longueur d’un objet à une température donnée, durée d’un phénomène ou tension entre deux bornes. L’instrument possède une résolution, parfois un étalonnage et des spécifications. Le protocole introduit aussi des limites : positionnement, lecture d’un ménisque, déclenchement manuel, variations de température. Définir le mesurande évite de comparer des valeurs qui ne concernent pas exactement la même grandeur.

Des mesures indépendantes répétées peuvent présenter une dispersion aléatoire. Un histogramme regroupe les résultats par classes et rend visible la distribution. Pour des classes de même largeur, leurs hauteurs peuvent représenter les effectifs. Une distribution étroite indique une faible dispersion dans ces conditions ; elle ne prouve pas l’absence d’un biais commun. Une règle dont le zéro est décalé peut donner des valeurs répétées très proches, toutes affectées par le même défaut.

La moyenne résume la position centrale d’une série ; l’écart-type caractérise sa dispersion. Pour estimer la dispersion à partir de n mesures, on peut utiliser l’écart-type expérimental s : on calcule les écarts à la moyenne, leurs carrés, leur somme divisée par n − 1, puis la racine carrée. Cette formule suppose n supérieur à un. L’écart-type garde l’unité de la grandeur. Un écart au carré pris isolément n’a pas cette même unité.

Avant d’écarter une valeur éloignée, recherche une erreur documentable : faute de saisie, unité différente ou événement expérimental identifié. Une valeur ne doit pas être retirée uniquement parce qu’elle déplaît ou éloigne la moyenne de la référence. Conserve la trace de toute décision et examine son effet sur le résultat. L’honnêteté des données est une condition de l’interprétation scientifique.

L’incertitude-type u(x) caractérise la dispersion des valeurs raisonnablement attribuables à la grandeur dans le modèle de mesure retenu. Elle s’exprime dans la même unité que x. Elle n’est ni l’erreur exacte, généralement inconnue, ni une garantie que la valeur de référence appartient à un intervalle donné. Une petite incertitude signifie une information plus resserrée sous les hypothèses retenues, pas une preuve automatique de justesse.

Une évaluation de type A repose sur une analyse statistique de mesures. Si le résultat retenu est la moyenne de n mesures indépendantes dans des conditions stables, l’incertitude-type associée à cette moyenne peut être estimée par s / √n. Il faut distinguer s, dispersion des mesures individuelles, et s / √n, incertitude statistique de la moyenne. Ajouter des mesures ne réduit pas nécessairement les autres contributions, comme un défaut d’étalonnage commun.

Une évaluation de type B exploite d’autres informations : notice, étalonnage, résolution, expérience du protocole ou borne plausible. Par exemple, si une indication est arrondie au pas q et si l’erreur d’arrondi est modélisée comme uniforme entre −q/2 et q/2, l’incertitude-type associée vaut q / √12. Pour q = 0,10 cm, elle vaut environ 0,029 cm. La formule dépend du modèle uniforme et de la seule contribution de résolution : elle n’est pas une règle universelle pour tout instrument.

Si une autre information donne directement une demi-largeur a d’une distribution uniforme, la formule est a / √3. Il faut donc lire si la notice ou l’énoncé fournit un pas, une demi-largeur, une incertitude-type ou une autre grandeur. Une même contribution ne doit pas être comptée deux fois. En pratique, on retient les informations disponibles et les formules fournies, en expliquant leur usage plutôt qu’en appliquant mécaniquement une liste.

Une grandeur calculée dépend des valeurs mesurées qui entrent dans sa formule. Son incertitude dépend donc aussi de leurs incertitudes et de leurs relations éventuelles. Le programme demande d’exploiter une formule de composition fournie. Pour U = R × I, avec R et I indépendants et de petites incertitudes relatives, une approximation usuelle est u(U) = √[(I × u(R))² + (R × u(I))²]. Chaque terme sous la racine a l’unité V² ; le résultat a l’unité V.

Une simulation peut illustrer cette composition. On choisit des distributions pour les entrées compatibles avec les informations disponibles, puis on effectue de nombreux tirages. À chaque paire de valeurs, on calcule U. La moyenne et l’écart-type des tensions obtenues caractérisent la distribution simulée. Le choix des lois et des dépendances fait partie du modèle : des tirages indépendants ne conviennent pas si les erreurs des deux mesures sont corrélées.

Dans cette simulation, vingt mille paires sont tirées selon les lois précisées sous la figure. La moyenne des tensions est proche de 2,00 V et leur écart-type de 0,10 V, conformément à la formule approchée. Refaire une simulation avec une autre série aléatoire donne des valeurs légèrement différentes. Augmenter le nombre de tirages stabilise le calcul numérique ; cela n’améliore pas l’instrument réel et ne réduit pas l’incertitude physique représentée.

Conserve les chiffres pendant les calculs, puis arrondis le résultat final en cohérence avec l’incertitude. Ici, on choisit généralement deux chiffres significatifs pour celle-ci, sauf consigne différente. La valeur estimée est écrite au même rang décimal que l’incertitude. Présenter séparément x et u(x) évite de confondre incertitude-type et intervalle de confiance. Une notation avec ± exige de dire explicitement ce que représente le nombre placé après ce signe.

Pour comparer à une référence dont l’incertitude est négligeable dans le cadre de l’exercice, on utilise z = |xmes − xref| / u(x). Le numérateur et le dénominateur ont la même unité, donc z est sans unité. Le quotient exprime l’écart en nombre d’incertitudes-types. Avec la convention courante présentée ici, z strictement inférieur à 2 conduit à considérer les résultats comme compatibles ; z supérieur ou égal à 2 conduit à rechercher une incompatibilité dans ce cadre. Le seuil est une convention de décision, pas une frontière entre vérité et erreur certaine.

Une incompatibilité invite à revoir la définition du mesurande, les unités, les calculs, l’étalonnage, le protocole et l’évaluation des incertitudes. Elle peut aussi révéler une limite du modèle utilisé. On ne corrige pas arbitrairement la mesure pour rejoindre la référence. Si la référence possède une incertitude non négligeable, le quotient simplifié ne suffit plus : il faut utiliser la formule adaptée donnée dans la situation, en tenant compte des dépendances éventuelles.

Pour une activité de mesure de longueur, décris l’objet et les points entre lesquels tu mesures, choisis un instrument adapté, vérifie son zéro et répète des lectures indépendantes. Note chaque valeur au moment de la mesure et précise les conditions qui pourraient varier. Compare ensuite la dispersion à la résolution. Changer seulement l’opérateur peut mettre en évidence une contribution du protocole. L’amélioration doit viser la contribution dominante, pas simplement ajouter des décimales à l’affichage.