Démontrer et programmer en Python

Une proposition mathématique est une phrase dont on peut discuter la vérité dans un cadre défini. « Tout entier naturel est inférieur à son carré » est fausse, car l’entier 0 et l’entier 1 vérifient une égalité et non une inégalité stricte. L’ensemble de départ et le sens de chaque comparaison sont donc essentiels. Une propriété valable pour les entiers strictement positifs peut échouer à zéro ; une propriété sur les réels positifs peut différer de celle sur les entiers.

Une implication P ⇒ Q affirme que lorsque P est vraie, Q l’est aussi. Sa réciproque Q ⇒ P est une autre proposition. Une équivalence exige les deux sens. Par exemple, si un entier est divisible par 4, il est pair ; la réciproque est fausse, puisque 6 est pair sans être divisible par 4. Être pair est ici nécessaire pour être divisible par 4, mais ne suffit pas. Être divisible par 4 est une condition suffisante de parité.

La négation de « tous les éléments vérifient P » est « il existe un élément qui ne vérifie pas P ». La négation de « il existe un élément vérifiant P » est « aucun élément ne vérifie P ». Pour nier « a < x < b », il faut écrire « x ≤ a ou x ≥ b ». Le connecteur ou est inclusif : il n’interdit pas que les deux propriétés soient vraies simultanément. Une négation correctement formulée guide souvent la recherche d’un contre-exemple.

Une preuve directe part des hypothèses et enchaîne des conséquences justifiées. La contraposée transforme P ⇒ Q en non Q ⇒ non P ; ces deux implications sont équivalentes. Pour montrer qu’un entier dont le carré est pair est lui-même pair, on peut établir qu’un entier impair a un carré impair : si n = 2k + 1, alors n² = 2(2k² + 2k) + 1. Ce calcul démontre la contraposée et donc l’implication initiale.

Le raisonnement par l’absurde ajoute la négation de la conclusion aux hypothèses et recherche une contradiction. La disjonction des cas traite toutes les possibilités : pour un entier, pair ou impair ; pour un réel, négatif, nul ou positif. Une démonstration ne peut pas oublier un cas frontière. Un raisonnement par équivalence est utile pour résoudre une équation, mais chaque transformation doit être réversible. Élever au carré peut ajouter des solutions qu’il faudra vérifier dans l’équation initiale.

La récurrence sert à établir une propriété P(n) pour tous les entiers à partir d’un rang initial. Il faut vérifier l’initialisation, puis prouver que pour un entier n quelconque du domaine, P(n) entraîne P(n + 1). L’hypothèse de récurrence n’affirme pas déjà la propriété à tous les rangs ; elle est une hypothèse temporaire utilisée dans l’étape d’hérédité. La conclusion réunit les deux étapes et cite le rang de départ.

En Python, une variable contient une valeur d’un certain type. Une condition utilise notamment == pour tester une égalité, alors que = affecte une valeur. Les opérateurs and et or traduisent les connecteurs et et ou. Les parenthèses aident à expliciter le regroupement des conditions. On distingue aussi une division ordinaire, qui peut produire un nombre décimal approché, et les calculs entiers exacts. Un résultat affiché en décimal doit toujours être interprété avec la précision de la machine.

Pour la suite précédente, on peut chercher le premier rang dont le terme atteint 2,9. Le code suivant comporte trois lignes ; la mise à jour de la boucle est placée sur la même ligne que sa condition. La virgule dans une affectation simultanée permet de calculer les nouvelles valeurs à partir des anciennes. Les décimaux s’écrivent avec un point en Python, contrairement aux décimaux du texte mathématique français.

u = 1.0
n = 0
while u < 2.9: u, n = (u + 3) / 2, n + 1

Au début de chaque passage dans la boucle, u représente uₙ. C’est un invariant : il est vrai au départ, puis la mise à jour conserve cette correspondance. Lorsque la condition devient fausse, u ≥ 2,9. Comme les termes précédents étaient strictement inférieurs au seuil, le rang obtenu est le premier qui convient. Pour justifier l’arrêt, on peut établir uₙ = 3 − 2 × (1/2)ⁿ ; cette formule tend vers 3, donc un seuil strictement inférieur à 3 est finalement dépassé.

Un contrôle utile comprend donc un cas ordinaire et un cas limite. Si le seuil vaut 1, la boucle ne s’exécute pas et le rang retourné vaut 0. Un programme qui initialise n à 1 sans adapter u commet un décalage entre le rang et le terme. L’ordre des affectations est également important : une mise à jour simultanée évite d’utiliser involontairement une valeur déjà modifiée.

Une liste rassemble des valeurs ordonnées. Ses indices commencent à 0. L’instruction valeurs = [k * k for k in range(5)] construit les carrés pour k égal à 0, 1, 2, 3 et 4. La borne finale 5 est exclue. La liste contient cinq éléments ; valeurs[2] est le troisième, donc 4. On peut ajouter un élément par append, supprimer un élément par son indice avec del, ou parcourir directement les valeurs avec une boucle.

Une fonction permet de séparer une tâche et de la réutiliser. La définition def carre(x): return x * x calcule un carré sans modifier une liste extérieure. L’appel carre(-3), écrit avec le signe moins du clavier dans Python, renvoie 9. Le mot return transmet le résultat au programme appelant ; un affichage avec print ne joue pas le même rôle. Une fonction de calcul peut ainsi servir plusieurs fois dans une simulation ou dans un traitement de liste.