Les matrices

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels. Une matrice de dimension m × n possède m lignes et n colonnes. Son coefficient aᵢⱼ est situé à la ligne i et à la colonne j ; les indices commencent ici à 1. Une matrice ligne possède une seule ligne, une matrice colonne une seule colonne. Une matrice carrée a autant de lignes que de colonnes ; on parle alors de son ordre.

Pour écrire des matrices dans le texte, on séparera les lignes par un point-virgule. Ainsi A = (1, 2 ; 3, 4) désigne le tableau à deux lignes (1, 2) et (3, 4). Ce n’est ni un couple de coordonnées ni un nombre. Deux matrices sont égales si elles ont les mêmes dimensions et tous leurs coefficients correspondants égaux. Le contrôle des dimensions doit précéder toute opération.

L’addition se fait coefficient par coefficient, uniquement pour des matrices de mêmes dimensions. La multiplication par un réel λ multiplie chaque coefficient par λ. La matrice nulle contient seulement des zéros ; son format doit être précisé. On dispose d’une addition commutative et associative, comme pour les réels, mais les produits matriciels demandent davantage d’attention.

Si A est de dimension m × n et B de dimension n × p, le produit AB est défini et possède m lignes et p colonnes. Le nombre de colonnes de A doit être le nombre de lignes de B. Le coefficient de ligne i et de colonne j du résultat est la somme des produits des coefficients de la ligne i de A par ceux de la colonne j de B, dans le même ordre. On additionne donc n produits.

Cette définition traduit une succession de calculs linéaires. Si une première transformation envoie un vecteur colonne X sur BX et une seconde envoie BX sur A(BX), la composition s’écrit (AB)X. L’opération placée à droite agit en premier sur le vecteur. Ce point explique pourquoi le produit n’est généralement pas commutatif : effectuer une rotation puis un étirement ne revient pas toujours à faire l’inverse.

Le produit est associatif : (AB)C = A(BC), si les dimensions conviennent. Il est distributif sur l’addition. En revanche, AB = 0 n’entraîne pas nécessairement A = 0 ou B = 0. Par exemple (1, 0 ; 0, 0)(0, 0 ; 0, 1) est nul alors qu’aucun facteur ne l’est. On ne peut donc pas transposer sans justification toutes les règles du calcul sur les nombres.

La matrice identité I d’ordre n laisse une matrice carrée A inchangée : AI = IA = A. Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice A⁻¹ telle que AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles. Pour une matrice d’ordre 2 A = (a, b ; c, d), le nombre ad − bc est son déterminant. A est inversible exactement lorsque ce nombre est non nul.

Lorsque ad − bc ≠ 0, l’inverse est A⁻¹ = (1/(ad − bc))(d, −b ; −c, a). La formule se contrôle en multipliant les deux matrices : les coefficients diagonaux valent ad − bc avant division et les deux autres valent zéro. Si le déterminant est nul, la formule n’est pas utilisable. On ne parle pas d’une division par une matrice ; on multiplie par son inverse dans un ordre précis.

Pour une matrice carrée A, on définit A⁰ = I puis Aⁿ⁺¹ = AⁿA pour n naturel. Le carré A² n’est pas obtenu en élevant séparément les coefficients au carré. Les puissances d’une même matrice vérifient AᵖAᑫ = Aᵖ⁺ᑫ. Une formule générale découverte sur les premiers termes doit être démontrée, souvent par récurrence.

Le vecteur colonne de coordonnées (x ; y) devient (−y ; x) après multiplication par R = (0, −1 ; 1, 0). Dans un repère orthonormé direct, R représente une rotation de centre O et d’angle π/2. On vérifie R² = −I et R⁴ = I. Le calcul matriciel décrit donc une transformation et ses répétitions. Il ne faut pas confondre le point transformé avec la matrice qui agit sur ses coordonnées.

Une matrice diagonale agit séparément sur les coordonnées. Par exemple D = (2, 0 ; 0, 3) envoie (x ; y) sur (2x ; 3y). Ses puissances sont Dⁿ = (2ⁿ, 0 ; 0, 3ⁿ). Pour une matrice générale, un tel calcul coefficient par coefficient serait faux. Le type particulier de matrice justifie ici la simplicité de la formule ; on peut le démontrer par récurrence ou par multiplication directe.

Erreurs fréquentes : inverser lignes et colonnes ; traiter AB comme BA ; appliquer le produit nul des réels aux matrices ; oublier I au rang zéro ; annoncer une inverse sans contrôler le produit. Une présentation avec les dimensions et un coefficient détaillé évite les erreurs silencieuses. Dans un calcul long, conserve les valeurs exactes lorsque c’est possible, puis utilise les approximations seulement pour interpréter un résultat.

Pour t’entraîner, ouvre S’entraîner dans /exercices. Refais ensuite un calcul en échangeant volontairement l’ordre des facteurs : comparer les résultats t’aidera à retenir que l’ordre traduit une succession d’actions. Les chapitres suivants utiliseront ces produits pour compter des chemins et étudier des évolutions aléatoires.