MathematiquesGeometrie
Vecteurs et Geometrie
Operations sur les vecteurs, produit scalaire, equations de droites et plans.
Formules essentielles
Norme
||AB|| = racine((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2)
Exemple : A(1,2), B(4,6) : ||AB|| = racine(9+16) = 5
Milieu
M = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)
Exemple : Milieu de [A(0,0), B(4,6)] = (2,3)
Produit scalaire
u.v = ||u||*||v||*cos(angle) = x*x' + y*y'
Exemple : u(1,2).v(3,1) = 3 + 2 = 5
Orthogonalite
u perpendiculaire a v <=> u.v = 0
Exemple : u(1,2) perpendiculaire a v(-2,1) car 1*(-2)+2*1=0
Equation de droite
ax + by + c = 0 ou y = mx + p
Exemple : Droite passant par A(1,2) de pente 3 : y = 3x - 1
Distance point-droite
d(M, D) = |ax0 + by0 + c| / racine(a^2 + b^2)
Exemple : Distance de M(2,3) a la droite 3x + 4y - 5 = 0
Points cles
- 1Vecteur directeur de ax+by+c=0 : (-b, a)
- 2Vecteur normal de ax+by+c=0 : (a, b)
- 3Deux droites paralleles <=> vecteurs directeurs colineaires
- 4Colinearite : det(u,v) = xy' - x'y = 0
Astuces de pro
Pour trouver l'equation d'une droite, utilise le vecteur directeur AB
Le produit scalaire permet de calculer des angles : cos(angle) = u.v / (||u||*||v||)
Projection orthogonale de M sur D : utilise le vecteur normal
En 3D, le produit scalaire fonctionne pareil avec 3 coordonnees
Pieges a eviter
- !Confondre vecteur directeur et vecteur normal
- !Oublier que le determinant donne DEUX FOIS l'aire du triangle
- !Se tromper dans le sens du vecteur AB = B - A
