Le logarithme népérien est une fonction clé du programme de spécialité maths en Terminale. Que tu vises une mention au Bac ou une admission dans une prépa, maîtriser le logarithme népérien est indispensable. Dans cet article, on te propose une synthèse complète : définition, propriétés, équations, limites, et conseils pour aborder sereinement les exercices du Bac.
Qu'est-ce que le logarithme népérien ?
Le logarithme népérien, noté ln, est une fonction mathématique définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[. Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l'unique r��el y tel que e^y = x. Autrement dit, la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.
Cette fonction a été introduite par John Napier (ou Neper) au XVIIe siècle pour simplifier les calculs de produits et de quotients. Aujourd'hui, elle est omniprésente en sciences : modèles de croissance, décroissance radioactive, échelle de Richter, etc.
Propriétés fondamentales du logarithme
Pour bien utiliser le logarithme népérien, tu dois connaître ses propriétés algébriques. Elles transforment des produits en sommes, des quotients en différences, et des puissances en multiplications.
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b) pour a, b > 0
- ln(a / b) = ln(a) - ln(b) pour a, b > 0
- ln(a^n) = n × ln(a) pour a > 0 et n entier relatif
- ln(1/a) = -ln(a) pour a > 0
- ln(√a) = (1/2) ln(a) pour a > 0
Étude de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur son domaine de définition. Sa dérivée est : (ln x)' = 1/x pour tout x > 0.
La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[ (sa dérivée seconde est négative). Sa courbe représentative admet une asymptote verticale d'équation x = 0 (car ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives) et aucune asymptote horizontale (car ln x tend vers +∞ quand x tend vers +∞).
Limites de référence
- lim_{x → 0+} ln(x) = -∞
- lim_{x → +∞} ln(x) = +∞
- lim_{x → 0+} x ln(x) = 0
- lim_{x → +∞} (ln(x)/x) = 0
Résoudre des équations et inéquations avec ln
Pour résoudre une équation ou une inéquation contenant des logarithmes, il faut d'abord déterminer le domaine de validité (les valeurs de x pour lesquelles les expressions sont définies), puis utiliser les propriétés du logarithme pour simplifier.
Exemple : équation simple
Résoudre dans ℝ : ln(2x - 1) = 3.
- Domaine : 2x - 1 > 0, donc x > 1/2.
- On applique l'exponentielle des deux côtés : 2x - 1 = e^3.
- Donc x = (e^3 + 1)/2.
- Vérification : x > 1/2, donc solution unique.
Exemple : inéquation avec ln
Résoudre : ln(x + 2) < 0.
- Domaine : x + 2 > 0, donc x > -2.
- ln(x + 2) < 0 ⇔ x + 2 < e^0 = 1 (car ln est croissante).
- Donc x < -1.
- Intersection avec le domaine : x ∈ ]-2 ; -1[.
Logarithme et exponentielle : des fonctions liées
Les fonctions ln et exp sont réciproques l'une de l'autre. Cela se traduit par :
- Pour tout x réel, ln(e^x) = x
- Pour tout x > 0, e^{ln(x)} = x
Cette relation est très utile pour simplifier des expressions ou résoudre des équations. Par exemple, pour résoudre e^{2x} = 5, on prend le logarithme des deux côtés : ln(e^{2x}) = ln(5), donc 2x = ln(5), d'où x = ln(5)/2.
Applications au Bac : exercices types
Au Bac, la fonction logarithme apparaît souvent dans des exercices d'analyse : étude de fonctions, calcul de limites, résolution d'équations, ou encore dans des problèmes contextualisés (biologie, économie).
Exercice type : étude d'une fonction avec ln
Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln(x) - x.
- Limites : en 0+, x ln(x) tend vers 0, donc f(x) tend vers 0 (car -x tend vers 0). En +∞, x ln(x) - x = x(ln(x) - 1) tend vers +∞.
- Dérivée : f'(x) = ln(x) + 1 - 1 = ln(x).
- Tableau de variations : f'(x) > 0 si x > 1, f'(x) < 0 si x < 1. Donc f admet un minimum en x = 1, qui vaut f(1) = -1.
- Équation f(x) = 0 : on peut montrer qu'il y a une solution entre 0 et 1, et une autre entre e et e^2 (avec le théorème des valeurs intermédiaires).
Ce type d'exercice est classique et te permet de réviser plusieurs notions en même temps.
Conseils pour réussir ton épreuve de spé maths
Pour aborder sereinement le logarithme népérien le jour du Bac, voici quelques conseils :
- Connais parfaitement les propriétés algébriques : tu dois être capable de les appliquer rapidement, sans hésiter.
- Maîtrise les limites de référence : elles sont souvent demandées dans les exercices.
- Entraîne-toi sur des annales : consulte les annales de maths pour voir les types d'exercices proposés.
- Sois rigoureux dans la rédaction : précise toujours le domaine de définition avant de résoudre une équation ou une inéquation.
- Vérifie tes résultats : remplace x par une valeur pour t'assurer que l'équation est bien satisfaite.
Réviser efficacement
Pour réviser, utilise des fiches de cours et des exercices ciblés. N'hésite pas à refaire les exercices faits en classe, puis à passer aux annales. Si tu as besoin d'un rappel sur les exponentielles, consulte notre page spéciale maths.
Conclusion
Le logarithme népérien est un outil puissant qui te servira dans de nombreux chapitres de Terminale, mais aussi dans tes études supérieures. Avec une bonne compréhension des propriétés et un entraînement régulier, tu seras parfaitement préparé pour le Bac. Tu as toutes les clés en main, alors lance-toi !
