Mouvement dans un champ : les clés pour maîtriser la mécanique au Bac
Bienvenue dans ce cours dédié à une partie fondamentale de la mécanique en Terminale : l'étude du mouvement d'un système dans un champ. Que ce soit le champ de pesanteur terrestre ou un champ électrique uniforme, les principes qui régissent ces mouvements sont des incontournables du programme et de l'épreuve du Bac. Ici, nous allons dépasser la simple application de formules pour comprendre la logique qui les unit. Prêt à décoller ?
1. Les fondements : la deuxième loi de Newton et la chute libre
Tout part d'une loi essentielle : la deuxième loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique). Elle établit le lien entre les forces qui s'appliquent sur un système et son mouvement : ∑F = m x a. La somme vectorielle des forces (∑F) appliquées à un système de masse m est égale au produit de sa masse par son accélération a. C'est notre outil principal pour prédire et décrire un mouvement.
La chute libre verticale : le cas le plus simple
Imaginons une balle lâchée sans vitesse initiale d'une certaine hauteur, en négligeant les frottements de l'air. Le système {balle} n'est soumis qu'à son poids P = m x g, où g est le vecteur champ de pesanteur (dirigé vers le centre de la Terre, vertical et vers le bas, de norme g ≈ 9,81 N/kg).
Appliquons Newton : ∑F = P = m x g. Donc m x a = m x g. On simplifie par la masse (non nulle) : a = g.
Conclusion cruciale : Dans le cas d'une chute libre (frottements négligés), l'accélération est égale au champ de pesanteur, quelle que soit la masse de l'objet. Une plume et un marteau tombent avec la même accélération dans le vide !
À partir de cette accélération constante, on retrouve les équations horaires du mouvement (coordonnée verticale z) par intégrations successives :
- Vitesse : v(t) = g x t + v₀ (avec v₀ vitesse initiale).
- Position : z(t) = (1/2) g x t² + v₀ x t + z₀ (avec z₀ altitude initiale).
Exemple concret : Une pierre est lâchée (v₀=0) d'un pont à 20 m au-dessus de l'eau (z₀=20m). On prend g = 10 m/s² pour simplifier. L'équation de sa position est z(t) = -5t² + 20. Elle touche l'eau quand z(t)=0, soit -5t²+20=0 → t=2 s. Sa vitesse à l'impact est v(2)= -10*2 = -20 m/s (le signe indique le sens vers le bas).
2. Le mouvement parabolique : le tir oblique dans le champ de pesanteur
La situation se corse (et devient plus intéressante) quand on lance un objet avec une vitesse initiale non verticale. C'est le cas d'un tir de basket, d'un coup de pied au football ou du lancement d'une fusée.
Analyse selon les deux axes
La clé est de projeter le mouvement sur deux axes : un axe horizontal (Ox) et un axe vertical (Oz). On étudie alors deux mouvements indépendants.
- Sur l'axe horizontal (Ox) : Aucune force n'est appliquée dans cette direction (on néglige les frottements). Donc, d'après Newton, l'accélération ax est nulle. Le mouvement est uniforme (vitesse constante égale à la composante horizontale de la vitesse initiale).
- Sur l'axe vertical (Oz) : Le poids agit. Le mouvement est uniformément accéléré, identique à une chute libre verticale, avec une accélération az = -g.
Équations et trajectoire
Si on lance l'objet depuis l'origine O avec une vitesse v₀ faisant un angle α avec l'horizontale, on a :
- Composantes de v₀ : v₀x = v₀ . cos(α) et v₀z = v₀ . sin(α).
- Équations horaires :
- Sur Ox : ax=0 → vx(t)= v₀.cos(α) → x(t)= v₀.cos(α).t
- Sur Oz : az= -g → vz(t)= -g.t + v₀.sin(α) → z(t)= -(1/2)gt² + v₀.sin(α).t
Pour trouver l'équation de la trajectoire z(x), on élimine le temps t entre x(t) et z(t). On tire t = x / (v₀.cos(α)) et on reporte dans z(t). On obtient :
z(x) = - [g / (2v₀²cos²α)] x² + (tan α) x
C'est l'équation d'une parabole (d'où le nom "mouvement parabolique").
Exercice type Bac : Un joueur de basketball tire au panier. Le ballon part de 2.00 m du sol (z₀=2.00 m) avec v₀=8.0 m/s et un angle α=50°. Le panier est à une distance horizontale de 6.0 m et son anneau est à 3.05 m de haut. Le tir est-il réussi ? (On prend g=9.8 m/s²).
Il faut calculer l'altitude z du ballon quand x=6.0 m. Avec la formule de trajectoire, on trouve z ≈ 3.1 m. C'est juste au-dessus de l'anneau à 3.05 m : le panier est réussi !
3. Mouvement dans un champ électrique uniforme
Le raisonnement est rigoureusement analogue à celui du champ de pesanteur, mais avec une force différente : la force électrique. C'est cette analogie qui fait la puissance de votre compréhension.
La force en jeu : la force de Coulomb
Plaçons une particule de charge électrique q dans un champ électrique uniforme E (par exemple entre les armatures parallèles d'un condensateur). Elle subit une force électrique (ou force de Coulomb) : F = q x E.
Le sens de la force dépend du signe de la charge q :
- Si q > 0 (charge positive), F a le même sens que E.
- Si q < 0 (charge négative comme un électron), F a le sens opposé à E.
Analogie parfaite avec le champ de pesanteur
Appliquons Newton au système {particule} de masse m. On a : ∑F = q.E = m.a. Donc : a = (q/m).E.
Comparez avec la chute libre : a = g. Le champ électrique uniforme E joue le rôle du champ de pesanteur g, et le rapport q/m (charge spécifique) est un facteur constant. L'accélération est donc constante et parallèle au champ E.
Deux cas classiques au Bac
a) Déviation d'un électron dans un condensateur
Un électron (charge q=-e, masse me) pénètre à la vitesse horizontale v₀ entre les armatures d'un condensateur où règne un champ E vertical vers le bas.
- Force : F = -e.E, donc verticale et vers le haut (car q négatif).
- Accélération : a = -(e/me).E, constante et verticale vers le haut.
Le mouvement est parabolique : uniforme horizontalement, uniformément accéléré verticalement. L'électron est dévié vers l'armature positive. Le calcul de sa trajectoire est identique à un tir parabolique, en remplaçant "g" par "(e/me).E" (en valeur absolue et en ajustant le sens).
b) Accélération linéaire d'une particule
Si une particule chargée entre dans la zone de champ avec une vitesse initiale parallèle aux lignes de champ, son mouvement est rectiligne uniformément accéléré (comme une chute libre verticale). C'est le principe de l'accélérateur linéaire de particules.
Exemple concret : Un proton (q=+e=1.6x10⁻¹⁹ C, m=1.67x10⁻²⁷ kg) est accéléré depuis le repos entre deux points A et B où règne un champ E uniforme de valeur E=1.0x10⁴ V/m. La distance AB = 10
