MathematiquesAnalyse
Continuite et Derivabilite
Fiche de revision complete pour le Baccalaureat
Points cles a retenir
- 1f continue en a : lim f(x) quand x -> a vaut f(a)
- 2Theoreme des valeurs intermediaires (TVI) : si f continue sur [a,b] et k entre f(a) et f(b), il existe c tel que f(c) = k
- 3Derivabilite en a : lim (f(x) - f(a))/(x-a) existe et est finie
- 4Derivable => continu (l'inverse est faux : valeur absolue continue mais pas derivable en 0)
- 5Tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a)
Exemples detailles
TVI
f(x) = x^3 - x - 1 sur [1, 2]. f(1) = -1 < 0, f(2) = 5 > 0. Donc il existe c dans [1,2] tel que f(c) = 0.
Tangente
f(x) = x^2, f'(x) = 2x. Tangente en x=1 : y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1.
Non-derivabilite
|x| en 0 : limite a gauche = -1, a droite = +1. Pas de derivee en 0 (point anguleux).
Astuce du prof
Pour appliquer le TVI, verifier les 3 conditions : continuite, intervalle ferme borne, valeur intermediaire. Tres utile pour montrer l'existence d'une solution.
A retenir absolument
Continue ≠ derivable (anguleux)
TVI : continuite + valeur entre f(a) et f(b)
Tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a)
