MathematiquesAnalyse
Suites - Convergence
Theoremes de convergence des suites, limites, suites arithmetiques et geometriques.
Formules essentielles
Suite arithmetique
u(n) = u(0) + n*r
Exemple : u(0) = 2, r = 3 : u(n) = 2 + 3n
Somme arithmetique
S = (n+1) * (u(0) + u(n)) / 2
Exemple : Somme des 10 premiers entiers = 10*11/2 = 55
Suite geometrique
u(n) = u(0) * q^n
Exemple : u(0) = 1, q = 2 : u(n) = 2^n
Somme geometrique
S = u(0) * (1 - q^(n+1)) / (1 - q)
Exemple : Pour q != 1
Limite geometrique
Si |q| < 1, lim q^n = 0 ; Si q > 1, lim q^n = +infini
Exemple : 0.5^n -> 0, 2^n -> +infini
Croissances comparees
e^n >> n^a >> ln(n) quand n -> +infini
Exemple : e^n/n^100 -> +infini
Points cles
- 1Suite croissante majoree => convergente
- 2Suite decroissante minoree => convergente
- 3Theoreme des gendarmes : si u <= v <= w et lim u = lim w = L, alors lim v = L
- 4Suite u(n+1) = f(u(n)) converge vers L => f(L) = L (point fixe)
Astuces de pro
Pour montrer la monotonie, etudie le signe de u(n+1) - u(n)
Pour une suite recurrente, trace la droite y = x et la courbe y = f(x)
Si u(n+1)/u(n) -> L < 1, la suite tend vers 0
Utilise le raisonnement par recurrence pour les encadrements
Pieges a eviter
- !Une suite bornee n'est pas forcement convergente (ex: (-1)^n)
- !Confondre convergence et limite finie (une suite qui diverge vers +infini n'a pas de limite finie)
- !Oublier de verifier les hypotheses des theoremes
