MathematiquesProbabilites

Loi Binomiale - Formules

Toutes les formules de la loi binomiale : probabilites, esperance, variance, intervalle de fluctuation.

Formules essentielles

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Exemple : P(X=2) avec n=5, p=0.3 : C(5,2)*0.3^2*0.7^3 = 0.309

C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)

Exemple : C(5,2) = 5!/(2!*3!) = 10

E(X) = n * p

Exemple : n=100, p=0.4 : E(X) = 40

V(X) = n * p * (1-p)

Exemple : n=100, p=0.4 : V(X) = 100*0.4*0.6 = 24

sigma = racine(n * p * (1-p))

Exemple : sigma = racine(24) = 4.9

I = [p - 1.96*racine(p(1-p)/n) ; p + 1.96*racine(p(1-p)/n)]

Exemple : Utilise pour les tests d'hypothese

1X ~ B(n,p) : n repetitions, proba de succes p, X = nombre de succes
2P(X <= k) se calcule a la calculatrice : binomFRep(n,p,k)
3P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1)
4Pour n grand, B(n,p) approche par N(np, racine(np(1-p))) si np >= 5 et n(1-p) >= 5

binomFdp = P(X=k), binomFRep = P(X<=k) sur calculatrice

C(n,k) = C(n, n-k) : symetrie du triangle de Pascal

Somme des P(X=k) pour k de 0 a n = 1

Mode proche de (n+1)*p (valeur la plus probable)