MathematiquesAnalyse
Integrales - Calculs
Methodes de calcul d'integrales : integration par parties, changement de variable, proprietes.
Formules essentielles
Integrale definie
Integrale de a a b de f = F(b) - F(a)
Exemple : Integrale de 0 a 1 de x^2 = [x^3/3] = 1/3
Linearite
Integrale(f+g) = Integrale(f) + Integrale(g)
Exemple : Integrale(x + e^x) = x^2/2 + e^x
Chasles
Integrale de a a b + Integrale de b a c = Integrale de a a c
Exemple : Decouper une integrale en morceaux
Integration par parties
Integrale(u'v) = [uv] - Integrale(uv')
Exemple : Integrale(x*e^x) = [x*e^x] - Integrale(e^x) = x*e^x - e^x
Parite (fonction paire)
Integrale de -a a a de f = 2 * Integrale de 0 a a de f
Exemple : Pour f(x) = x^2, integrer de -1 a 1 = 2 * integrer de 0 a 1
Parite (fonction impaire)
Integrale de -a a a de f = 0
Exemple : Integrale de -1 a 1 de x^3 = 0
Points cles
- 1Aire sous la courbe = integrale (attention au signe si f < 0)
- 2Valeur moyenne = (1/(b-a)) * Integrale de a a b de f
- 3Si f >= 0 sur [a,b], alors Integrale de a a b de f >= 0
- 4Inegalite des accroissements finis pour les encadrements
Astuces de pro
Pour IPP, choisir u' = ce qu'on sait integrer facilement
Si apparait deux fois le meme type d'integrale, poser I = ... et resoudre
Pour ln(x), poser u' = 1 et v = ln(x) en IPP
Les integrales de fonctions trigo se simplifient souvent avec cos^2 + sin^2 = 1
Pieges a eviter
- !Oublier de changer les bornes apres un changement de variable
- !Se tromper de signe dans l'IPP
- !Confondre aire et integrale (aire = |integrale| si f < 0)
