Les probabilités conditionnelles sont un pilier du programme de spécialité maths en Terminale. Que tu vises une mention au Bac ou que tu prépares Parcoursup, comprendre cette notion te permettra de modéliser des situations de dépendance entre événements et de résoudre des problèmes complexes. Dans ce guide, on va voir ensemble la définition, les formules clés, l'utilisation des arbres pondérés, le lien avec la loi binomiale, et des conseils pour cartonner le jour J.
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?
Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement est déjà survenu. On la note P(A | B) (lire « probabilité de A sachant B »).
Définition et formule fondamentale
Pour deux événements A et B, avec P(B) > 0, la probabilité conditionnelle est définie par :
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Cette formule traduit le fait que l'on « restreint » l'univers à B. Par exemple, si on tire une carte d'un jeu de 52 cartes, et qu'on sait que c'est un cœur, la probabilité que ce soit un as sachant que c'est un cœur est P(As ∩ Cœur) / P(Cœur) = (1/52) / (13/52) = 1/13.
Propriétés importantes
- Intersection : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B) = P(A) × P(B | A).
- Probabilités totales : Si les événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l'univers, alors P(A) = Σ P(A | Bᵢ) × P(Bᵢ).
- Indépendance : A et B sont indépendants si et seulement si P(A | B) = P(A) (ou P(A ∩ B) = P(A)×P(B)).
L'arbre pondéré : un outil visuel indispensable
Pour les probabilités conditionnelles, l'arbre pondéré est ton meilleur ami. Il permet de représenter clairement les dépendances et de calculer les probabilités sans se tromper.
Comment construire un arbre ?
Place au premier niveau les événements dont la probabilité est donnée directement. À chaque branche, on note la probabilité conditionnelle : par exemple, si on a deux urnes U₁ et U₂, la probabilité de tirer une boule rouge sachant qu'on a choisi U₁ s'écrit P(R | U₁). Les branches sont pondérées par les probabilités conditionnelles, et la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours 1.
Règles de calcul sur l'arbre
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées (règle de multiplication).
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).
- Pour une probabilité conditionnelle « inversée », on utilise la formule de Bayes : P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
Lien avec la loi binomiale et le schéma de Bernoulli
Les probabilités conditionnelles sont souvent utilisées dans les exercices mêlant répétitions d'épreuves de Bernoulli et conditionnement. Par exemple, dans un test médical, on peut avoir : P(Malade) = 0,02, P(T+ | M) = 0,95, P(T- | Non M) = 0,90. On te demande alors P(M | T+). C'est typiquement un exercice de Bac.
La loi binomiale elle-même repose sur des épreuves indépendantes, donc sans conditionnement. Mais on peut croiser les deux notions : par exemple, on lance un dé 10 fois ; sachant qu'on a obtenu au moins un 6, quelle est la probabilité d'en avoir exactement deux ? On utilise alors une probabilité conditionnelle avec la loi binomiale pour le calcul de l'intersection. C'est un classique des annales du Bac.
Exemple concret de sujet de Bac
Voici un énoncé typique (inspiré des sujets de Métropole 2024) :
Un laboratoire produit des vaccins. 2 % de la population est malade. Le test est positif chez 95 % des malades et négatif chez 90 % des non-malades. On choisit une personne au hasard.
Questions classiques
- Calculer la probabilité que la personne soit malade et que le test soit positif.
- Calculer la probabilité que le test soit positif.
- Le test est positif. Quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
- Interpréter le résultat.
Résolution pas à pas
Notons M : « malade », T+ : « test positif ».
- P(M) = 0,02, P(T+ | M) = 0,95, P(T- | non M) = 0,90 → P(T+ | non M) = 0,10.
- 1. P(M ∩ T+) = P(M) × P(T+ | M) = 0,02 × 0,95 = 0,019.
- 2. P(T+) = P(M ∩ T+) + P(non M ∩ T+) = 0,019 + 0,98 × 0,10 = 0,019 + 0,098 = 0,117.
- 3. P(M | T+) = P(M ∩ T+) / P(T+) = 0,019 / 0,117 ≈ 0,1624.
- 4. Seulement 16 % des personnes testées positives sont réellement malades : le test n'est pas parfait.
Ce type d'exercice est très fréquent dans les exercices d'entraînement.
Conseils de méthode et de révision pour le Bac
Maîtrise les bases
Avant de t'attaquer aux probabilités conditionnelles, assure-toi de bien connaître les probabilités simples, la combinatoire (coefficients binomiaux) et la loi binomiale. Tout est lié.
Entraîne-toi avec des arbres
Refais plusieurs exercices en traçant systématiquement un arbre pondéré. Cela t'évitera des erreurs de signe ou de formule. Tu trouveras des fiches de révision sur la page cours d'AlloTerminale.
Utilise la formule de Bayes sans peur
La formule de Bayes n'est qu'une conséquence de la définition. Pas besoin de l'apprendre par cœur si tu sais manipuler l'intersection et la probabilité totale. Mais si tu préfères, retiens : P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A).
Révise avec les annales
Le meilleur moyen de se préparer, c'est de faire des sujets de Bac des années précédentes. Rends-toi sur les annales corrigées pour t'entraîner dans les conditions de l'épreuve.
Gère ton temps le jour J
Les probabilités conditionnelles tombent souvent en exercice 3 ou 4 de l'épreuve de spécialité (coefficient 16). Consacre environ 30 minutes à cet exercice. Sois méthodique : écris les événements, dessine l'arbre, puis applique les formules. Vérifie que tes probabilités sont comprises entre 0 et 1.
Conclusion
Les probabilités conditionnelles sont à ta portée. Avec de la pratique et une bonne méthode, tu seras capable de résoudre n'importe quel exercice le jour du Bac. N'oublie pas que chaque point compte pour Parcoursup et pour ta moyenne. Alors, prends le temps de bien comprendre, de t'exercer, et surtout, de croire en toi. Tu es capable de réussir !
Pour aller plus loin, consulte aussi les ressources sur AlloBac et AlloÉducation.
